WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 

Pages:   || 2 | 3 |

«А.М. Леушин, Р.Р. Нигматуллин, Ю.Н. Прошин ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА МЕХАНИКА (ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС) ЗАДАЧНИК ДЛЯ ФИЗИКОВ Казань – 2015 УДК 531(07) ББК 22. Т Принято на заседании кафедры ...»

-- [ Страница 1 ] --

КАЗАНСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ

КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

А.М. Леушин, Р.Р. Нигматуллин, Ю.Н. Прошин

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

МЕХАНИКА

(ПРАКТИЧЕСКИЙ КУРС)



ЗАДАЧНИК ДЛЯ ФИЗИКОВ

Казань – 2015 УДК 531(07) ББК 22.

Т Принято на заседании кафедры теоретической физики Протокол № 4 от 21 октября 2015 года Рецензент – профессор, заведующий кафедрой теоретической физики Казанского государственного педагогического университета Р.М. Юльметьев Леушин А.М.

Т11 Теоретическая физика. Механика (практический курс). Задачник для физиков / А.М. Леушин, Р.Р. Нигматуллин, Ю.Н. Прошин – Казань:

Казан. ун-т, 2015. – 250 с. Издание третье, исправленное и дополненное.

В пособии предлагаются для решения задачи по всем разделам читаемого в Институте физики Казанского университета курса теоретической механики. Общее количество задач около 600. Для удобства использования пособия в каждом его разделе приводятся основные теоретические положения и формулы, а в конце имеются приложения, содержащие минимум сведений по математике, необходимых для решения задач по теоретической механике. В каждом разделе даны подробные решения нескольких типичных задач, а сами задачи расположены в порядке их усложнения:

сначала представлены легкие задачи, затем – задачи средней трудности и далее приводятся задачи повышенной трудности.

Пособие предназначено для студентов, магистрантов и аспирантов физических специальностей классических университетов.

© Леушин А.М., Нигматуллин Р.Р., Прошин Ю.Н., 2015 © Казанский университет, 2015 Теоретическая физика. Механика (практический курс) 3 Предисловие Предисловие к первому изданию Среди дисциплин, изучаемых в университете в курсе теоретической физики, классическая механика занимает одно из ведущих мест, поскольку основные ее положения необходимы для дальнейшего усвоения других дисциплин теоретической физики. Именно в классической механике студенты получают возможность, не выходя за пределы классической физики, знакомиться со многими понятиями и математическими методами и приемами, которые в дальнейшем используются при изучении электродинамики, термодинамики и статистической физики и квантовой механики.

Для успешного усвоения теоретической механики, кроме изучения теории, необходимы навыки решения практических задач. Практика преподавания показывает, что курс классической механики является одним из самых сложных, и что способы решения задач студентами усваиваются значительно труднее, чем теория предмета. Эти трудности состоят в неумении облекать конкретные физические задачи в абстрактную математическую форму, в отсутствии навыков использования законов изменения и сохранения физических величин и в неспособности интегрировать получающиеся системы дифференциальных уравнений движения.

К сожалению, делу не способствует наличие значительного числа задачников с большим количеством задач, а также существование руководств, в которых вместе с приведенными задачами подробно разбираются и их решения. При индивидуальной работе с использованием задачников первого типа студента подавляет число задач: все их не перерешать, а какие достаточно решить, чтобы освоить курс, самостоятельно выбрать сложно. При использовании же задачников второго типа студент, не обладающий достаточной волей и самолюбием, наверняка не устоит перед соблазном посмотреть приведенное решение и не будет пытаться решить задачу сам.

Для того чтобы избавить студентов от этих дополнительных проблем, в 1988 году было издано пособие [1], в котором был собран минимум заПредисловие дач, решение которых, по нашему мнению, способствовало бы усвоению изучаемого теоретического материала. Решения задач отсутствовали, и только некоторые из задач были снабжены ответами. Пособие оказалось достаточно удобным как для использования на семинарских занятиях, так и при самостоятельной работе, и продолжает использоваться преподавателями и студентами до сих пор. Однако, в процессе эксплуатации в нем, помимо некоторых неточностей и опечаток, обнаружились два недостатка.

Во-первых, в некоторых разделах оказалось недостаточное число разных по уровню и по способам решения задач.





Их явно не хватало для полноценного приобретения практического навыка, поэтому для решения в аудитории приходилось привлекать дополнительные задачи, не говоря уж о возможности варьирования курса и самостоятельном изучении. Вовторых, при работе с пособием испытывалась потребность иметь в нем основные положения и формулы, необходимые для решения задач. При подготовке предлагаемого пособия мы постарались учесть это и избавить новое издание от указанных недостатков. Необходимость в издании такого пособия назрела уже давно, поскольку какие-либо новые задачники и пособия по решению задач по теоретической механике практически не издавались уже много лет (даже при выходе подобной книги ее современный тираж не способен удовлетворить потребность иметь такой задачник на столе у каждого студента), задачники прошлых лет не переиздаются и, мало помалу, становятся библиографическими редкостями, недоступными большинству студентов.

Пособие состоит из 10 разделов. Структура предыдущего пособия [1] в нем в основном сохранена, в него также вошли большинство задач предыдущего пособия с исправлением ошибок и опечаток, но общее количество задач значительно увеличено: с 222 до 587. Новые задачи большей частью взяты из книг [2-18], приведенных в Библиографии в конце пособия, есть и оригинальные задачи. Значительно расширены разделы по динамике материальной точки, по проблеме двух тел и теории рассеяния частиц, по уравнениям Лагранжа, по теории твердого тела, по условиям равновесия систем, по малым колебаниям механических систем, по уравнениям Гамильтона, по каноническим преобразованиям. В отличие от предыТеоретическая физика. Механика (практический курс) 5 дущего пособия, мы ликвидировали в нем раздел "Общие законы системы материальных точек". Часть задач этого раздела, решаемых с использованием законов сохранения, мы переместили в раздел 3, объединив их с задачами о движении частицы в центральном поле. Другая часть задач, в которых речь идет о нахождении центра масс системы, объединена в разделе 6 с задачами о движении твердого тела. Из раздела, посвященного уравнениям Лагранжа, исключены все задачи по расчету электрических цепей, поскольку при решении таких задач лагранжев формализм не получил широкого распространения. Кроме того, учитывая опыт многолетнего преподавания, нам показалось удобным в новом пособии добавить приложение, в котором бы содержался минимум сведений по математике, необходимых для решения задач по теоретической механике. В него мы включили сведения о векторах и векторном анализе, о матрицах, о дифференцировании и интегрировании элементарных функций, об основных дифференциальных уравнениях и методах их решений.

Сами разделы сейчас выглядят тоже по-другому. Каждый состоит из пяти подразделов: в первом из них мы приводим минимальные теоретические сведения, необходимые для решения задач данного раздела; во втором подробно показываем решения нескольких (от трех до шести) типичных задач; в следующих трех подразделах приводятся сами предлагаемые для решения задачи, причем сначала мы даем простые задачи, называемые обязательными задачами, решение которых необходимо для базового овладения минимальными навыками и основными приемами решения задач по теоретической механике. Далее следуют задачи средней трудности и в последнем подразделе предлагаются задачи повышенной трудности.

Конечно, это деление задач по разной степени трудности несколько условно и носит достаточно субъективный характер. Сразу после формулировки многих задач, особенно обязательных, в квадратных скобках приведены ответы. В пособии имеется большое количество рисунков, которые поясняют постановку задачи, они, как правило, приводятся рядом с текстом конкретной задачи.

В пособии используются стандартные обозначения для векторов, они выделяются жирным шрифтом (например, r, W или ). Скалярные велиПредисловие чины, как правило, выделены курсивом (например, r, W или s). Полные производные по времени t часто обозначаются точками над переменной • • •• (например, r, x или s ).

Мы отдаем себе отчет в том, что и в этом пособии могут остаться незамеченные нами неточности, опечатки или ошибки и будем признательны всем, кто обратит на них наше внимание.

Пособие подготовлено на кафедре теоретической физики Казанского государственного университета. Разделы 1, 2, 3 и математическое приложение написаны проф. Р.Р. Нигматуллиным, разделы 4, 5, 6 и 7 доц. А.М. Леушиным, разделы 8, 9 и 10 написаны проф. Ю.Н. Прошиным, им же проведена компьютерная верстка всего пособия.

Авторы благодарны за частичную поддержку Civil Research and Development Foundation (CRDF) (проект Basic Research and High Education (BRHE) REC-007) и SNSF (проект 7 IP 62595 в рамках SCOPES).

Предисловие ко второму изданию Во втором исправленном издании было изменено название пособия, чтобы привести его в соответствие с новым Государственным образовательным стандартом 2000 года, согласно которому в курсе теоретической физики нет раздела "Теоретическая механика". Он разделен на два: "Механика" и "Основы механики сплошных сред". Наше пособие содержит материал только первого раздела "Теоретическая физика. Механика".

Мы признательны сотрудникам кафедры теоретической физики (особенно доценту Ларионову А.Л.) и студентам физического факультета Казанского университета, указавшим на неточности и опечатки, допущенные при подготовке первого издания.

Второе издание выпущено при поддержке профессора Кочелаева Б.И.

и Swiss National Scientific Foundation (SNSF) в рамках соглашения № 7 IP 62595 по программе SCOPES.

А.М. Леушин Июль 2003 г. Теоретическая физика. Механика (практический курс) 7

Предисловие к третьему изданию В третьем издании исправлены обнаруженные опечатки и неточности, изменены формулировки ряда задач, частично изменения также коснулись текстов примеров решений некоторых задач и Приложения 1, добавлено Приложение 2. Пособие заново подверглось форматированию.

Авторы признательны всем сотрудникам кафедры теоретической физики и студентам Института физики Казанского университета, указавшим на неточности и опечатки, допущенные при подготовке первого и второго изданий. Также авторы благодарны А.С. Кутузову, написавшему Приложение 2 для данного пособия.

–  –  –

Раздел 1. Кинематика материальной точки Минимальные теоретические сведения по кинематике Приведем основные понятия и формулы кинематики, основываясь на порядке производной (nd 0, 1, 2), определяющей кинематическую величину.

Величины, соответствующие nd 0.

Положение материальной точки в пространстве задается радиусвектором r, который в каждый момент времени направлен из начала некоторой произвольной системы координат на данную материальную точку.

Зависимость от времени радиус-вектора r(t) (или координат) определяет закон движения материальной точки. Траектория материальной точки – это геометрическое место точек концов радиус-вектора r(t).

Декартовая система координат (ДСК):

Переменные x, y, z.

Пределы изменения переменных: – x, – y ; – z.

Закон движения в ДСК определяется в трехмерном случае тремя скалярными функциями (координатами) x(t), y(t), z(t), зависящими от времени t, и выражается равенством r(t) x(t)ex y(t)ey z(t)ez. (1.1)

Примеры:

уравнение пространственной эллиптической спирали r(t) Asin(t)ex Bcos(t)ey tez.

плоское движение тела, брошенного с высоты H с начальной скоростью v0 и под начальным углом к горизонту,

–  –  –

Цилиндрическая система координат (ЦСК).

Переменные,, z.

Связь переменных ДСК с переменными ЦСК: x cos, y sin, z z.

Пределы изменения переменных: 0, 0 2.

Связь между ортами:

e e x cos e y sin, e e x sin e y cos, ez ez.

В отличие от ортов ДСК орты ЦСК e и e зависят от времени t, и их производные по времени не равны нулю.

Радиус-вектор r (t ) e ze z.

–  –  –

Следует особо отметить, что в этой формуле и ниже величина пути s(t) является функцией верхнего предела интегрирования t. Переменная внутри интеграла может обозначаться, строго говоря, произвольной буквой.

Величины, соответствующие nd 1.

Мгновенная линейная скорость материальной точки в момент времени t

–  –  –

Примечание: Используя эту формулу и принимая во внимание выражения для коэффициентов Ламе в ССК: hr 1, h r, h r sin, получите выражения для компонент ускорения в ССК

–  –  –

Сопровождающая система координат (естественный трехгранник) Движение материальной точки по криволинейной траектории иногда удобно описывать в сопровождающей системе координат, задаваемой нормальным n и тангенциальным ортами. Эту систему координат определяют еще как естественный трехгранник.

Вектор направлен вдоль вектора скорости v, вектор n перпендикулярен направлению скорости и направлен к центру кривизны траектории в данной точке. Третий орт сопровождающего трехгранника получается как n b n.

Теоретическая физика. Механика (практический курс) 13

–  –  –

Некоторые предварительные указания по решению задач по кинематике В механике можно решать две основные задачи.

Прямая задача механики формулируется в общем виде следующим образом: по заданному движению материальной точки найти действующие на нее силы. Задача сводится к отысканию вектора ускорения w(t) или его компонент. Вектор силы, как известно, можно найти по формуле:

F(t) mw(t). Существенный момент, который следует помнить, заключается в том, что полные производные по времени от единичных ортов криволинейной системы координат (за исключением декартовой) не равны нулю.

Обратная задача механики может быть сформулирована следующим образом: по заданным компонентам силы, действующей на материальную точку, найти ее закон движения. При этом предполагается, что начальные условия движения (начальное положение точки, ее начальная скорость) известны. В кинематике это сводится к заданию скорости или ускорения материальной точки. Обратная задача, как правило, труднее прямой, так как предполагает составление дифференциального уравнения первого (если известна скорость) или второго (известно ускорение) порядка и его решение. Кроме того, необходимо хорошо представлять себе связи между разТеоретическая физика. Механика (практический курс) 15 личными скоростями (мгновенной, средней, секторной и т.д.) и ускорениями, которые помогают выразить условия исходной обратной задачи в форме дифференциального уравнения.

Для успешного решения задач по кинематике необходимо хорошо знать стандартные решения простейших дифференциальных уравнений первого и второго порядка, а также уметь преобразовывать их к новым переменным, для того чтобы "увидеть" их стандартную форму.

Примеры решения задач по кинематике Задача 1. Частица движется в положительном направлении оси Оx так, что ее скорость меняется по закону v x, где размерная постоянная. Принимая во внимание начальные условия (t 0, x x0), найти:

а) зависимость от времени мгновенной скорости и ускорения частицы;

б) среднюю величину скорости частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути.

Решение.

1. Предварительный анализ задачи. Задача может быть классифицирована как обратная задача механики и для своего решения требует составления простейших дифференциальных уравнений. Помимо нахождения искомого уравнения для получения его частного решения необходимо знание начальных условий (величину пройденного пути x0 к начальному моменту времени t 0).

2. Составление необходимых уравнений. Из условия задачи можно определить следующую связь между мгновенной скоростью и пройденным расстоянием к моменту времени t dx v x. (1.25) dt Последнее уравнение представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Его частное решение может быть записано в виде x(t ) x0 exp(t ).

Из последнего уравнения дифференцированием нетрудно получить искомые равенства для ответов на первый пункт (а) Кинематика материальной точки

–  –  –

Задача 3. Точка движется, замедляясь по некоторой плоской траектории, таким образом, что в каждый момент времени ее тангенциальные и нормальные ускорения по модулю равны друг другу.

В начальный момент времени t 0 скорость точки равна v0. Найти траекторию материальной точки. Предполагается, что зависимость радиуса кривизны траектории от времени известна и задается некоторой функцией R(t).

Решение.

1. Предварительный анализ задачи. Задача может быть отнесена к обратной задаче механики и для своего решения требует решения простейших Кинематика материальной точки

–  –  –

Решения для x(t), y(t) легко получаются из соотношений (1.28) интегрированием. Последние интегралы решают поставленную задачу в самом общем виде.

Анализ решения. В соответствии с принципом "понять – означает обобщить", глядя на полученные решения, полезно задать следующий вопрос:

можно ли получить решение задачи, если отношение тангенциального ускорения к нормальному равно b (b некоторое заданное положительное число)? Можно ли получить результат для случая b b(t)?

Задачи Обязательные задачи

1.1. Точка А находится на ободе колеса радиуса R, которое катится без проскальзывания по горизонтальному рельсу с постоянной угловой скоростью.

а) Определить закон движения точки обода колеса в декартовых координатах. Найти скорость и ускорение данной точки и показать, что ускорение всегда направлено к центру колеса.

б) Вычислить полный путь s, проходимый точкой А между двумя последовательными моментами ее касания рельса.

[ а) x(t ) R t sin(t ), y (t ) R 1 cos(t ), б) s 8R ]

–  –  –

Для обоих случаев определить также модуль и направление силы и вычислить компоненту секторной скорости, перпендикулярную плоскости движения.

1.3. Изобразить графически траекторию и вычислить мгновенную скорость и ускорение материальной точки, если ее декартовые координаты меняются по закону:

а) x(t) acos(t 0), y(t) bsin(t 0).

–  –  –

1.5. Вычислить полные производные по времени от единичных ортов ЦСК и ССК, выразив их через линейную комбинацию самих ортов.

1.6. Нарисовать примерный вид траектории и найти компоненты силы, действующей на материальную точку, если ее движение в сферической системе координат задается уравнениями:

Теоретическая физика. Механика (практический курс)

–  –  –

1.21. Материальная точка движется в плоскости xОy. Известна зависимость радиуса кривизны от величины пройденного пути R(s). Найти траекторию точки, выбрав в качестве независимого параметра величину пройденного пути s.

Теоретическая физика. Механика (практический курс) 25

–  –  –

Минимальные теоретические сведения по динамике точки Динамика это раздел механики, в котором решается следующая задача: по заданным силам, действующим на материальную точку (или систему материальных точек) и заданным начальным условиям, найти ее (их) закон движения (т.е. зависимость координат точки или системы точек от времени). Эту задачу можно решать по-разному (см. разделы 3, 5, 6, 9, 10). В этом разделе мы будем рассматривать движение одной свободной материальной точки, т.е. полное число степеней свободы равно трем. Задача сводится к решению системы трех дифференциальных уравнений вида:

mwi Fi(r, v, t) (i 1,2,3). (2.1) В самом общем случае эта система записана для некоторой ортогональной криволинейной системы координат, когда радиус-вектор точки задается в виде функции r(q1,q2,q3) и для произвольной функциональной зависимости компонент вектора силы F от расстояния, скорости и времени. Так как единого аналитического метода, сводящего систему дифференциальных уравнений второго порядка к квадратурам (к интегралам от известных функций), в общем случае не существует, то обычно выделяют такие случаи, когда такое сведение возможно и решение в этих случаях может быть выражено в форме замкнутых интегралов от известных функций силы. Полезно напомнить простейшие случаи, когда решение получается "автоматически" в квадратурах.

а) Сила является только функцией времени. В этом случае ответ получается после двукратного интегрирования заданной функции F(t) по временной переменной.

б) Часто в ДСК компонента силы зависит лишь от той же самой компоненты скорости. Тогда структура уравнений (2.1) имеет вид mx F1( x), my F2 ( y ), mz F3 ( z ).

(2.2) Эта система уравнений разделяется и сводится к квадратурам с помощью Динамика материальной точки замены переменной x p и преобразованием второй производной по времени от каждой координаты по правилу

–  –  –

в) Компонента силы в ДСК зависит только от одной соответствующей координаты. К этому пункту относится также случай одномерного движения. При этом сила F(x) является потенциальной, можно определить потенциал U ( x) F ( x)dx и, используя закон сохранения полной энергии E, свести задачу к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными вида

–  –  –

Точки остановки x(E), в которых скорость обращается в нуль, определяются из уравнения E U(x). Отметим, что в формуле (2.6) учет знака скорости важен при инфинитном движении материальной точки. Для финитного движения в силу периодической смены знака скорости, его учет происходит "автоматически". В последнем случае материальная точка движется периодическим образом между двумя соответствующими точками остановки x1,2(E), а формула для периода финитного движения T имеет вид Теоретическая физика. Механика (практический курс) 27

–  –  –

Методические указания к решению задач по динамике материальной точки Отыскание закона движения (траектории) материальной точки в рамках ньютоновского формализма обычно сводится к следующим пунктам:

1. Определение природы и симметрии сил, действующих на материальную точку.

2. Выбор системы координат, в которых переменные дифференциального уравнения могут быть разделены или записаны наиболее простым способом для их решения известными аналитическими методами.

3. Выбор и правильная запись начальных условий.

4. Запись дифференциальных уравнений типа (2.1) или (2.5) и их решение.

5. Анализ полученного результата и возможное обобщение полученного решения.

–  –  –

Последнее выражение (2.8) нельзя считать решением, так как коэффициент пропорциональности неизвестен. Для его нахождения необходимо связать этот коэффициент с толщиной доски h. Для этого представим исходное уравнение Ньютона в виде (см. (2.3)) Динамика материальной точки

–  –  –

Вначале выясним, к чему приводит действие постоянной силы. Будем искать решение в виде: x u xe. Здесь первый член u – решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (2.13) с равной нулю правой частью; xe – частное решение уравнения (2.13) в виде постоянной, физически соответствующее сдвигу исходного положения равновесия затухающего осциллятора. Подстановка x u xe приводит к уравнению

–  –  –

2. Направим ось z декартовой системы координат вдоль вектора H(t), направление которого не меняется со временем. Величину магнитного поля H(t) можно считать заданной функцией. Также будем считать заданными компоненты электрического поля Ex(t), Ey(t), Ez(t).

3. Начальные условия следует взять в общем виде, считая известными декартовы координаты частицы x0, y0, z0 и компоненты ее скорости vx 0, v y 0, vz 0 в некоторый «начальный» момент времени t0.

–  –  –

где для представления параметра C(p) через гамма-функции (x) необходимо воспользоваться соотношением, определяющим бета-функцию B(x,y), Теоретическая физика. Механика (практический курс)

–  –  –

Здесь 2/m, T0 mv0 / 2. Из дифференциального уравнения (2.30) с разделяющимися переменными можно найти решение в квадратурах в виде обратной зависимости t(x). Это решение имеет вид x

–  –  –

Мы намеренно привели решение последней задачи как задачи повышенной трудности, чтобы на ее примере можно было получить представление о методах решения некоторых нетривиальных дифференциальных уравнений, порожденных "физикой" задачи. Как следует из этого примера, закон "сохранения" механической энергии можно получить также и для определенного класса диссипативных сил.

Чтобы показать более широкую применимость уравнения (2.33), рассмотрим следующую задачу. Как известно, уравнение вида

d2y 0 y 0, (2.36)

dt описывает модель гармонического осциллятора. Пусть y(x) – некая заданная нелинейная связь между исходным смещением x и "новым" смещением y, которое удовлетворяет уравнению (2.36) с известным решением. Какому уравнению должна удовлетворять функция y(x), чтобы его можно было свести к уравнению (2.36) для гармонического осциллятора?

Решим эту задачу. Замечая, что

–  –  –

которое представляет собой частный случай уравнения (2.33). Следовательно, в этом частном случае решение получается просто обращением решения уравнения y(x) acos(0t 0) относительно исходной переменной x.

Динамика материальной точки Задачи Обязательные задачи

2.1. Груз веса P, находящийся в покое на гладкой горизонтальной плоскости начинает двигаться вдоль оси x под действием горизонтальной силы f Asin(t), где А и константы. а) Найти закон движения груза, предполагая, что в начальный момент его координата х 0.

б) Решить задачу для шероховатой плоскости, если коэффициент трения между плоскостью и грузом постоянен и равен.

–  –  –

–  –  –

2.10. Над поверхностью Земли действует однородное магнитное поле, вектор напряженности H которого горизонтален Частица с зарядом е и массой m начинает движение на высоте h от Земли со скоростью v0, направленной вертикально вниз. При каком значении высоты h частица не сможет достичь поверхности Земли? (ускорение свободного падения считается известным и равно g).

–  –  –

Минимальные теоретические сведения Законы изменения и сохранения физических величин и интегралы движения Как было продемонстрировано в предыдущем разделе, задача о движении одной частицы имеет общее решение для сравнительно широкого класса сил. Проблему движения двух частиц также можно решить в квадратурах при достаточно общих допущениях о силе взаимодействия между частицами (см. следующий раздел). Однако задача трех и большего количества частиц при общих предположениях о силах взаимодействия встречает непреодолимые трудности. Известны только некоторые частные решения этой задачи или решения для очень узкого класса взаимодействий.

В связи с этим приобретают огромное значение общие теоремы, справедливые при любом числе частиц, которые часто позволяют получить общие результаты без решения систем дифференциальных уравнений или контролировать правильность приближенных решений. Такими универсальными теоремами являются законы изменения и сохранения импульса, момента и энергии механической системы.

Законы сохранения физических величин приводят к интегралам движения. Интегралом движения называется такая функция времени, координат и скоростей частиц, которая при движении механической системы сохраняет постоянное значение, определяемое начальными условиями. Интегралы движения, содержащие скорости частиц, называются первыми интегралами движения. Вторыми интегралами движения называются такие функции времени, координат частиц и произвольных констант, которые при движении системы сохраняют постоянные значения.

Наличие интегралов движения существенно облегчает решение системы уравнений движения. Знание, например, s независимых первых инТеоретическая физика. Механика (практический курс) 43

–  –  –

где ri и pi радиус-вектор и импульс i-ой точки системы. Закон изменения момента импульса системы имеет вид Метод законов сохранения и движение в центральном поле

–  –  –

стояния rki между i-ой и k-ой точками потенциальная энергия их взаимодействия. Определяя полную механическую энергию системы E T + U как сумму кинетической T и полной потенциальной энергии U, можно получить закон ее изменения со временем в виде

–  –  –

диссипативных сил Fid Fiex.d Fiin.d, как внешних Fiex.d, так и внутренних Fiin.d. Если диссипативные силы (внешние и внутренние) отсутствуют и если потенциальная энергия системы во внешних полях не зависит явно от времени, то полная механическая энергия системы

–  –  –

будет сохраняться, т.е. будет интегралом движения. Такую систему называют консервативной.

Движение в центральном поле Использование законов сохранения и интегралов движения удобно продемонстрировать на примере рассмотрения задачи о движении частицы в центральном поле.

Если сила, действующая на частицу, направлена вдоль ее радиус-вектора (параллельно или антипараллельно ему), то такая сила называется центральной. Если к тому же модуль этой силы зависит только от величины радиус-вектора, то сила является потенциальной и стационарной. Тогда помещая начало системы координат в силовой центр, в соответствии с (3.2) и (3.3) получим четыре первых скалярных интеграла движения

–  –  –

Из этих четырех интегралов независимы только три, поскольку три компоненты момента импульса Mx, My, Mz связаны между собой соотношением (Mv ) m([r v ]v ) 0.

Наряду с первыми интегралами движения, в данной задаче можно найти три вторых независимых интеграла. Один из них получается в результате скалярного умножения вектора момента импульса M на радиус-вектор r (M r ) M x x M y y M z z m([r v ]r ) 0

–  –  –

Примеры решения задач Задача 1. Автомобиль заданной массы m движется таким образом, что развиваемая им мощность в процессе движения сохраняет свое постоянное значение. Показать, что путь, проходимый автомобилем, изменяется со Теоретическая физика. Механика (практический курс) 47

–  –  –

Воспользовавшись определением радиальной компоненты скорости и учитывая связь (3.16) угловой скорости и расстояния, первое уравнение в выражении (3.15) можно преобразовать к виду

–  –  –

Формулы (3.18) и (3.20) решают поставленную задачу. Решение этой задачи повышенной трудности мы привели только по одной причине: показать, что существуют силовые поля, которые можно считать обобщением стандартной задачи о движении материальной точки в центральном поле. Любые точные решения нетривиальных уравнений Ньютона в квадратурах для произвольных сил представляют особую ценность для теоретической механики.

Замечание. Рекомендуется воспроизвести и проверить эти общие формулы, взяв для рассмотрения частный случай: ().

Метод законов сохранения и движение в центральном поле

–  –  –

3.6. Тело падает на Землю с большой высоты h. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти время Т, по истечении которого тело достигнет поверхности Земли, и скорость, которую оно приобретет за это время. Радиус Земли R предполагается известным.

3.7. Найти траектории (изобразить их примерный вид) и закон движения частицы в поле U U0 (при r R) и U 0 (при r R) (сферическая потенциальная яма) при различных значениях начального момента импульса М и энергии Е.

3.8. Найти траектории движения частицы и изобразить их примерный вид, если она двигается в потенциальном поле U().

а) U() / /2, ( 0, 0);

б) U() / /2, ( 0, 0);

в) U() / /2, ( 0, 0 M 2/2m);

г) U() / /2, ( 0, M 2/2m).

Показать, что в поле U /r (F0r), где F0 – постоянная величина, 3.9.

скалярная величина I (F0[vM]) (F0r)/r [F0r]2/2 является интегралом движения.

3.10. Обобщить теорему о вириале сил для заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле.

3.11. Найти траекторию материальной точки, полная энергия которой при движении в потенциальном поле U (r ) ln(r / r0 ) r 2 равна нулю.

3.12. Найти зависимость от координат потенциала центрального поля, в котором материальная точка может двигаться по гиперболической спирали p / (a b), где p, a, b – константы.

Задачи средней трудности

3.13. С какой по величине начальной скоростью v0 нужно запустить тело с Северного полюса под углом 0 к поверхности Земли (0 0 / 2), чтобы оно, пролетев под действием гравитации Земли, упало на экваторе? Силу сопротивления атмосферы не учитывать. Нарисовать два типа возможных траекторий. В каких пределах для каждого типа Метод законов сохранения и движение в центральном поле траектории можно менять угол запуска 0 ? Найти оптимальный угол запуска, то есть угол, при котором величина начальной скорость минимальна. Ответ выразить через радиус Земли R и величину ускорения свободного падения на поверхности Земли g.

Примечание. Гравитационное поле Земли совпадает с полем точечной массы, равной массе Земли и расположенной в центре Земли.

–  –  –

из которых – круговая радиуса r0, а другая – эллиптическая с расстояниями перигея и апогея r0 и 8r0 соответственно. Полагая, что спутники путем непосредственной стыковки соединились друг с другом в точке соприкосновения своих орбит, а дальнейшее движение продолжали вместе, найти апогей их новой орбиты.

–  –  –

ких процессов играет большую роль в физике.

В задаче о рассеянии считаются известными массы частиц и потенциальная энергия их взаимодействия как функция расстояния между ними, а взаимодействие с внешними объектами не принимается во внимание. До рассеяния частицы считаются бесконечно удаленными друг от друга и обладающими скоростями, равными v1 v1 (t ) t, v 2 v 2 (t ) t, где v1(t ) и v 2 (t ) скорости обеих частиц в момент времени t. Помимо

–  –  –

В случае упругого рассеяния, после которого внутренняя энергия частиц остается неизменной и скорость -частицы по величине также не меняется, т.е. v v, общее решение задачи можно получить сразу, используя выражения радиус-векторов частиц через радиус-вектор -частицы (4.6), а также факт сохранения скорости центра масс (4.8) V V V. Дифференцируя (4.6) по времени, будем иметь Теоретическая физика. Механика (практический курс) 59

–  –  –

и прицельного расстояния будут различными для разных взаимодействий, так как зависимость от и v определяется конкретным видом потенциальной энергии U(r).

Только в одном случае угол имеет определенное значение при любой потенциальной энергии взаимодействия. Это случай "лобового удара", когда 0, 0, и, следовательно, вектор e направлен противоположно вектору v. В таком случае его можно записать в виде e v / v.

Это выражение для e вместе с решением (4.11) позволяет получить очень простые формулы для скоростей частиц после "лобового удара" (см. ниже задачу 4.4).

Если рассматриваемые частицы не являются точечными по величине, а обладают некоторыми конечными размерами, то удар частиц друг о друга может произойти и при прицельном расстоянии не равном нулю. Конечно, в таком случае удар не обязательно будет "лобовым". В теории удара "лобовой удар" классифицируется как "центральный и прямой" и определяется как такой удар, при котором точка соприкосновения соударяющихся тел и скорости их центров масс лежат на линии центров масс. Если хотя бы одна из скоростей центров масс соударяющихся тел до удара не лежит на линии центров масс, то удар называют "косым". В теории рассеяния о случаях удара тел говорят как о столкновении частиц, и столкновение частиц рассматривается как общий случай рассеяния частиц.

Рассмотрение общего случая, когда 0, становится более наглядным, если применить графическое изображение решения (4.11), т.е. воспользоваться, так называемой, диаграммой скоростей. Построение и использование диаграммы скоростей показано ниже на конкретном примере при решении Задачи 2.

Теоретическая физика. Механика (практический курс) 61

–  –  –

Примеры решения задач Задача 1. Две материальные точки массы m1 и m2 взаимодействуют по закону всемирного тяготения.

Найти величины начальных скоростей точек, при которых расстояние r0 между ними во время движения не будет меняться.

Решение. В соответствии с (4.2) расстояние между точками есть модуль радиус-вектора -частицы, и поэтому -частица будет двигаться по круговой траектории. Так же, согласно (4.6), будут двигаться и обе материальные точки в системе центра масс, причем они и

-частица все время будут находиться на одной прямой, как показано на рисунке. Эксцентриситет круговой траектории -частицы, обладающей отрицательной полной энергией, в соответствии с результатами раздела 3 (см. формулу (3.6б)), можно записать в виде

–  –  –

где Е есть полная энергия -частицы, М величина ее момента количества движения, приведенная масса и константа взаимодействия в потенциале U / r, которая в данном случае гравитационного взаимодействия равна m1m2. Из (4.18) для полной энергии Е находим

–  –  –

(v / m ) m2 2m1m2 cos.

v2 m1 Для нахождения направлений скоростей обеих частиц после рассеяния воспользуемся диаграммой скоростей. Для ее построения (см. рисунок) выбираем некоторое направление, скажем горизонтальное, и вдоль него от некоторой точки О в направлении направо откладываем вектор скорости второй частицы до рассеяния в ц-системе, в соответствии с (4.23) равный v2 m1v / m. Затем вдоль этой же прямой в противоположном направлении от той же точки О проводим вектор скорости первой частицы до рассеяния в ц-системе, в соответствии с (4.23) равный v1 m2 v / m. Эти векторы всегда противоположно направлены, поскольку они выражаются через один и тот же вектор v скорости

-частицы c различными скалярными коэффициентами противоположными по знаку. В процессе рассеяния вектор v2 поворачивается на угол рассеяния в ц-системе, не изменяясь по величине, и превращается в вектор v2, поэтому изображаем его повернутым на угол, скажем против часовой стрелки. Точно так же ведет себя и вектор v1, превращаясь в вектор v1, оба вектора v2 и v1, после рассеяния находятся на одной прямой. На рисунке мы изобразили векторы второй частицы большими по величине, допустив, что масса m1 m2. Эта четверка векторов представляет собой диаграмму скоростей в ц-системе. Для того чтобы построить полную диаграмму скоростей, к ней необходимо присоединить вектор скорости центра масс. Чтобы иметь возможность получить векторы скоростей частиц в л-системе, вектор скорости центра масс следует провести так, чтобы он оканчивался в той точке, в которой начинаются все уже построенные четыре вектора. Характер получаемой диаграммы будет зависеть от распоТеоретическая физика. Механика (практический курс) 65 ложения вектора скорости центра масс. Если этот вектор не будет находиться в плоскости диаграммы ц-системы, то результирующая диаграмма будет иметь пространственный вид, если же он окажется в той же плоскости, то диаграмма будет плоской. В нашем случае вектор скорости центра масс, равный согласно (4.22) V m2 v / m, не только находится в плоскости ц-диаграммы, так он еще и направлен по вектору v2, а по величине в точности совпадает с вектором v1. Диаграмма, таким образом, оказывается плоской, а вектор скорости центра масс мы должны провести так, чтобы он начинался в той же точке, в которой кончается вектор v1, а оканчивался в точке О. Теперь для получения векторов скоростей в л-системе складываем вектор скорости центра масс с векторами скоростей частиц в ц-системе. В частности, добавляя к вектору V вектор v1, получаем вектор скорости первой частицы в л-системе v1, который, как и дано в условии задачи, оказывается равным нулю. Далее, складывая векторы V и v2, получаем вектор скорости второй частицы в л-системе v, который направлен направо по гори

–  –  –

центра масс.

Задача 3. Частица с зарядом е и массой m, имеющая на бесконечности скорость v, налетает на такую же частицу, первоначально неподвижную, с прицельным расстоянием.

Найти скорости обеих частиц после рассеяния, предполагая, что частицы взаимодействуют по закону Кулона.

–  –  –

Задачи Обязательные задачи

4.1. Показать, что задача о движении двух заряженных частиц в однородном электрическом поле с напряженностью E сводится к задаче о движении центра масс и о движении -частицы в заданном поле.

4.2. Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц определяется выражением U ( r2 r1 ) (c / 2)( r2 r1 l )2. Предполагая, что частицы все время находятся на расстоянии а друг от друга, найти величины скоростей частиц в системе центра масс.

4.3. Две частицы с массами m1 и m2, взаимодействующие по закону всемирного тяготения, совершают финитное движение. Показать, что минимальное и максимальное расстояние x между ними являются корнями квадратного уравнения Ex 2 m1m2 x ( m1 m2 ) M 2 / 2m1m2 0,

–  –  –

4.5. Определить отношение масс m1 и m2 двух частиц в следующих случаях: а) первая частица находится в покое; происходит упругий "лобовой удар", после которого вторая частица остается в покое; б) чаТеоретическая физика. Механика (практический курс) 69 стицы встречаются с равными по величине и противоположными по направлению скоростями; после "лобового удара" вторая частица остается в покое.

4.6. Две частицы с массами m1 и m2 двигаются в одном и том же направлении. Каковы должны быть их скорости v1 и v2, чтобы после столкновения догоняющая частица с массой m1 остановилась, а вторая частица получила бы заданную скорость u2? Столкновение частиц считать упругим.

–  –  –

Шарик, обладающий скоростью v, испытывает абсолютно упругий 4.9.

удар о плоскость, двигающуюся со скоростью u. Найти скорость шарика после удара.

4.10. Покажите, что угол рассеяния, первоначально покоящейся рассеивающей частицы относительно направления скорости такой же рассеивающейся частицы имеет следующее простое выражение 1 ( ) / 2, где угол рассеяния в системе центра масс.

4.11. Выразить скорости обеих частиц после рассеяния движущейся частицы с массой m2 на неподвижной частице с массой m1 через их углы рассеяния в лабораторной системе координат.

Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц

4.12. Определить интервал значений, который может иметь угол между направлениями скоростей после рассеяния движущейся частицы с массой m2 на первоначально покоящейся частице с массой m1.

0 / 2 (m2 m1), / 2 (m2 m1 ), / 2 (m2 m1)

4.13. Частица массы m1, двигающаяся со скоростью v1, рассеивается на покоящейся частице массы m2. Определить угол рассеяния в системе центра масс, при котором покоящаяся частица получит всю кинетическую энергию двигающейся частицы.

4.14. Частица массы m1, двигающаяся со скоростью v1, налетает на покоящуюся частицу массы m2 и рассеивается на угол 1. Найти угол рассеяния в системе центра масс, переданную часть кинетической энергии и отношение масс, при котором передаваемая энергия будет максимальной.

4.15. Частицы с массами m1 и m2 движутся навстречу друг другу со скоростями, равными по величине и противоположными по направлению ( v1 v 2 0). Определить скорости обеих частиц после рассеяния в лабораторной системе координат как функции угла рассеяния в системе центра масс.

v1 v2 [4m2 (m2 m1) 2 4m2 (m2 m1)cos ]1/2 / (m1 m2 ),

–  –  –

4.18. Частица массы m упруго сталкивается с покоящейся частицей массы М (m M) и отклоняется от первоначального направления на угол /2. Под каким углом к направлению первоначального движения частицы с массой m полетит более тяжелая "частица отдачи".

4.19. Комета массы m движется в поле тяготения звезды массы М (М m), имея невозмущенную скорость (на бесконечности) v и прицельное расстояние. Найти уравнение траектории кометы и определить угол, на который отклоняется ее траектория, когда она снова удаляется на бесконечность.

4.20. Для частицы массы m, двигающейся со скоростью v в поле с потенциалом U(r) /r /r2, определить зависимость прицельного расстояния от угла рассеяния.

–  –  –

4.23. Найти эффективное сечение рассеяния частиц массы m сферической "потенциальной ямой", т.е. полем с потенциалом U 0 при r a и U U0 при r a (см. также задачу 3.7).

Проблема двух тел и теория столкновения и рассеяния частиц

4.24. Определить эффективное сечение рассеяния частиц массы m1 от абсолютно твердого шарика массы m2 и радиуса а, предполагая, что потенциал взаимодействия: U при r a и U 0 при r a.

4.25. Найти эффективное сечение упругого рассеяния для шариков радиуса а и массы m на таких же покоящихся шариках, предполагая, что потенциал их взаимодействия имеет вид: U при r 2a и U 0 при r 2a.

4.26. Найти угол рассеяния и эффективное сечение рассеяния частицы массы m с энергией Е в поле U(r) /r 2 ( 0), предполагая, что скорость частицы до рассеяния была равна v, и она двигалась к силовому центру с прицельным расстоянием.

–  –  –

1 Предполагается, что функция f непрерывна и имеет непрерывные производные по всем аргументам.

2 При наличии неудерживающих связей движение системы можно разбить на участки свободного и несвободного движения: несвободного, когда в выражении (5.1) имеется знак равенства, и свободного, когда стоит знак неравенства.

Уравнения Лагранжа то связь называется стационарной или склерономной.

Связь, накладывающая ограничения только на координаты точек системы, т.е. связь, уравнение которой не содержит скоростей точек f (r1, r2,..., rN, t ) 0, (5.3) называется геометрической или голономной. Связь же, уравнение которой имеет вид (5.2), называется кинематической или неголономной.

Материальная система, на которую наложены только голономные связи, называется голономной, а материальная система с неголономными связями – неголономной.

Связи реализуются посредством всякого рода поверхностей, различных тел, стержней, нитей, шарниров и т.д. Силы Ri, с которыми тела, осуществляющие связи, действуют на точки системы, называются реакциями связей, или пассивными силами. В связи с этим, заданные силы Fi, которые действуют на точки свободной системы, называются активными силами.

Наличие связей вносит в решение задач по механике две трудности.

Первая из них состоит в том, что не все координаты xi, yi, zi несвободной системы являются независимыми друг от друга, так как они теперь связаны определенными соотношениями – уравнениями связей; следовательно, не все уравнения движения системы mii Fi R i (i 1,2,...,N) r (5.4) будут независимы. Здесь mi масса i-ой точки, Fi полная активная действующая на нее сила, Ri равнодействующая всех сил реакций. Вторая трудность заключается в том, что силы Ri, развиваемые связями, заранее не известны. В сущности, наложить на систему связи это означает просто указать, что имеются силы, которые непосредственно нам не известны, но они определенным образом влияют на движение системы.

Обе отмеченные выше трудности можно преодолеть двумя различными способами. При первом из них вводят виртуальные перемещения точек системы ri, как приращения, удовлетворяющие уравнениям связей (5.3) в данный фиксированный момент времени, и определяют идеальные связи, как связи, суммарная работа сил реакций которых на всех виртуальных перемещениях равна нулю Теоретическая физика. Механика (практический курс) 75

–  –  –

f (r1, r2,..., rN, t ) 0 ( 1, 2,..., s ), которые называются уравнениями Лагранжа 1-го рода. Эти уравнения называются также уравнениями Лагранжа с реакциями связей, поскольку решение системы (5.6) через соотношения (5.5) автоматически определяет силы реакций связей. Неизвестными величинами в (5.6) являются радиусвекторы всех точек системы ri(t) и неопределенные множители Лагранжа (t), причем число уравнений 3N s в точности равно числу неизвестных.



Pages:   || 2 | 3 |
Похожие работы:

«Муниципальное автономное дошкольное обраовательное учреждение «Детский сад «Малышок»г. Советский»Проект на тему: «Мир птиц.» в старшей группе компенсирующей направленности «Капелька» (5-6 лет) Выполнили: воспитатели старшей группа компенсирующей направленности «Капелька» Синицина Т.А. Пинаева Т.Г. 2015 год Актуальность: Важной составной частью всех экосистем планеты являются птицы. Роль птиц в природе Земли огромна. Птицы регулируют численность насекомых, распространяют семена растений, опыляют...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» Назаров В.С., К.М. Дэвис, К.Дж. Гэрри, Полякова А.Г., Сисигина Н.Н., Соколов Д.В. Оценка эффективности и результативности системы здравоохранения Москва 201 Аннотация. Сохранение темпов развития российской системы здравоохранения требует повышения эффективности расходов. В развитых странах...»

«www.pwc.ru «И дым отечества нам сладок и приятен» Деофшоризация 3 марта 2014 года Налоговый семинар «В последнее время все больше и больше юридических лиц, созданных за рубежом американскими компаниями используют специальные механизмы, такие как создание «искусственного» ценообразования между материнской и дочерней компаниями, передачи прав на патенты, перемещение дохода в виде вознаграждения за управленческие услуги в низконалоговые юрисдикции, и другие аналогичные механизмы [.] для того,...»

«  Список основных научных работ сотрудников Института маркетинга Монографии. 1. «Рынок нано: от нанотехнологий к нанопродуктам»/ Г.Л.Азоев и др.; под редакцией д.э.н., проф. Азоева Г.Л.М.: Изд-во БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011, 319 с.: ил.+1 электрон. опт. диск (СD-ROM) (Нанотехнологии) 2. Азоев Г. Л., Поршнев А.Г. Управление организацией. Инфра-М, 1998 3. Азоев Г.Л., Поршнев А.Г.Справочник директора. 5 изд. Инфра-М, 2001-2007.4. Азоев Г.Л., Поршнев А.Г.Управление организацией. 5 изд. Инфра-М,...»

«Государственное управление. Электронный вестник Выпуск № 52. Октябрь 2015 г. Самарец Т.В. Критерии аудита эффективности расходов организации среднего профессионального образования и механизм применения их показателей Самарец Татьяна Викторовна — кандидат экономических наук, доцент, факультет бизнеса и экономики, Астраханский государственный университет, Астрахань, РФ. E-mail: samarez1@gmail.com SPIN-код: 3648-3200 Аннотация В статье рассматриваются показатели критериев аудита эффективности...»

«Секция 3 «ЭЛЕКТРОНИКА, ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ». Вентильно-индукторные электромеханические преобразователи в современном автомобиле Королев В.В. Тольяттинский государственный университет Современный автомобиль содержит множество электромеханических устройств, их число уже измеряется десятками и продолжает расти. Этому способствуют устойчивые тенденции к повышению безопасности и комфортности серийно выпускаемых автомобилей. Если в 1965 году каждый автомобиль в...»

«ПРОЦЕССНЫЙ ПОДХОД ПРИ РАЗРАБОТКЕ ДОКУМЕНТОВ СИСТЕМЫ МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА ПРОЕКТНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ Калачев А.В., Голубинский Ю.М. Пензенскийгосударственныйуниверситет Пенза, Россия PROCESS APPROACH WHEN DEVELOPING DOCUMENTS OF QUALITY MANAGEMENT SYSTEM OF THE DESIGN ORGANIZATION Kalachev A.V., GolubinskyYu.M. Penzastateuniversity Penza, Russia В настоящее время качество продукции стало основным средством конкурентной борьбы на мировом рынке. Качество товаров и услуг определяет реальный уровень...»

«УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля) Цель освоения дисциплины: 1. Осмысление основных форм мышления, стимулирование студента к осознанному и ответственному усвоению логических знаний;2. Углубление процесса освоения логических особенностей собственного логического мышления; 3. Формирование целостного восприятия логических особенностей познания студентом природной, социальной и внутри личностной реальности; 4. Формирование логической культуры...»

«Бюллетень новых поступлений (апрель 2015 г.) Содержание 1. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ 1.2 Физика. Астрономия 1.4 Науки о Земле. Биология 2.1 Энергетика 2.1.1 Теплоэнергетика 2.2 Радиоэлектроника 2.2.1 Радиотехника 2.2.2 Электроника 2.2.3 Автоматика и телемеханика 2.3 Горное дело 2.4.1 Технология металлов 2.4.2 Теория механизмов и машин. Детали машин 2.5 Приборостроение 2.6 Химическая технология. Легкая промышленность 2.8 Транспорт 5.1 Общественные науки в целом. Социология. Статистика. Демография 5.2...»

«ТЕХНОЛОГИЯ ИЗГОТОВЛЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ ИЗ ПОЛИСТИРОЛА МЕТОДОМ ЛИТЬЯ ПОД ДАВЛЕНИЕМ Филиппова Ирина Олеговна Владимирский государственный университет им. А. Г. и Н. Г. Столетовых THE TECHNOLOGY OF PRODUCTION OF THE DETAIL OF BRAND POLYSTYRENE CAST BY INJECTION MOLDING Filippova I. O. Vladimir state university. Лист ВЛГУ.240100.05.4.00 ПЗ Изм Лист № док. Подп. Дата ВВЕДЕНИЕ Полистирол – жсткий, хрупкий, аморфный полимер с высокой степенью оптического светопропускания, невысокой механической прочностью....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Оглавление Введение 1 Основы совершенствования системы управления формированием человеческого капитала в интересах инновационного развития РФ 1.1 Современные подходы к формированию человеческого капитала. 14 Предпосылки формирования человеческого капитала вузов 1.2 1.3 Глобальные тенденции развития системы высшего образования Выводы по 1 главе 2 Методические положения формирования человеческого капитала в НИУ. 92 2.1 Построение механизма...»

«ДОКЛАД О деятельности РСПП в 2014 году МОСКВА Март 201 Оглавление РСПП как ведущая организация работодателей в России Введение Региональная деятельность РСПП Взаимодействие с государством, экспертными и публичными площадками. 5 Мониторинг состояния делового и инвестиционного климата Стратегии развития Сотрудничество с деловыми ассоциациями в России Взаимодействие с зарубежными партнерами Роль РСПП в формировании благоприятного делового климата Внешнеэкономические механизмы и международное...»

«ЧИСТАЯ ВОДА РОССИИ XIII МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКИЙ СИМПОЗИУМ И ВЫСТАВКА СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ 17–19 марта 2015 года г. Екатеринбург XIII Международный научно-практический сиМпозиуМ и выставка «чистая вода россии» 17–19 марта 2015 года г. екатеринбург сборник Материалов XIII INTERNATIONAL SCIENTIFIC-PRACTICAL SYMPOSIUM AND EXHIBITION “CLEAN WATER OF RUSSIA” March 17–19, 2015 Yekaterinburg PROCEEDINgS удк 502.656 ч68 В сборнике помещены статьи и тезисы докладов, представленных на XIII...»

«European Journal of Technology and Design, 2015, Vol.(7), Is. 1 Copyright © 2015 by Academic Publishing House Researcher Published in the Russian Federation European Journal of Technology and Design Has been issued since 2013. ISSN: 2308-6505 E-ISSN: 2310-3450 Vol. 7, Is. 1, pp. 16-26, 2015 DOI: 10.13187/ejtd.2015.7.16 www.ejournal4.com UDC 621.64, 696.2 Automation Systems Inlet air of Laboratory Campus R.S. Nigmatullin Kamsky Institute of Humanitarian and Engineering Technologies, Russian...»

«ГЕОФИЧЕСКИЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ЛАБОРАТОРИЯ ГЕОДИНАМИКИ 1995 г., Кавказ 2010 г., Железногорск 2005 г., Нижне-Канский массив 2012 г., Участок «Енисейский» Краснокаменск, ППГО 2007 г., Рудник Горлебен, Германия 2000 г., Ростовская АЭС 19932013 20 лет исследований О лаборатории безопасность, и общественности о вопросах, касающихся обращения с РАО и ОЯТ; Лаборатория геодинамики была создана в Геофизиг) организацию систем долговременного геодиначеском центре РАН в 1993 г. Инициировал ее...»

«ДИАГНОСТИКА САМООЦЕНКИ ЛИЧНОСТИ Абраменко Н.А. Филиал Южного федерального университета в г.Новошахтинске, Ростовская область, Россия DIAGNOSTICS SELF-RATING IDENTITY Abrаmenko N.A. Branch Southern Federal University of Novoshakhtinsk, Rostov region, Russia ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ..1. Социально-психологическая природа самооценки. 2. Методики исследования самооценки личности. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 16 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ. 18 ВВЕДЕНИЕ В современном мире все большее значение приобретают проблемы...»

«1. Цели освоения дисциплины. В соответствии с ФГОСом целями освоения дисциплины «Материаловедение» являются приобретение студентами знаний об основных материалах, применяемых в машиностроении, методах управления их свойствами и рационального выбора материалов для деталей машин и инструмента. Изучение курса «Материаловедение» должно обеспечить решение следующих задач при подготовке бакалавров в области машиностроения: изучение зависимости между составом, свойствами и строением сплавов; изучение...»

«Бюллетень новых поступлений (октябрь 2014 г.) Содержание 1. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ 1.1 Математика. Механика 1.2 Физика. Астрономия 1.3 Химия 2.1 Энергетика 2.1.1 Теплоэнергетика 2.2 Радиоэлектроника 2.2.1 Радиотехника 2.2.2 Электроника 2.2.4 Вычислительная техника. Оргтехника 2.3 Горное дело 2.4.1 Технология металлов 2.4.2 Теория механизмов и машин. Детали машин 2.5 Приборостроение 2.8 Транспорт 3. СЕЛЬСКОЕ ХОЗЯЙСТВО 5.1 Общественные науки в целом. Социология. Статистика. Демография 5.2 История 5.3...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского» Факультет иностранных языков и лингводидактики ^^У Т В Е РЖ Д А Ю Проректор по учеб'нО-здё№щ^е?кой работе, 7 4 ° # ! ^ 0*' ; 1 о тёг д-р филол. науж '.Г. Елина 2014 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАМТ дисциплины ИНОСТРАННЫЙ ЯЗЫК (немецкий) Направления подготовки кадров высшей квалификации...»

«Бюллетень новых поступлений (ноябрь 2014 г.) Содержание 1. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ 1.1 Математика. Механика 1.2 Физика. Астрономия 1.3 Химия 1.4 Науки о Земле. Биология 2. ТЕХНИКА 2.1 Энергетика 2.1.1 Теплоэнергетика 2.2 Радиоэлектроника 2.2.1 Радиотехника 2.2.2 Электроника 2.2.3 Автоматика и телемеханика 2.2.4 Вычислительная техника. Оргтехника 2.3 Горное дело 2.4.1 Технология металлов 2.4.2 Теория механизмов и машин. Детали машин 2.4.3 Обработка металлов 2.5 Приборостроение 2.7 Строительство....»







 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.