WWW.NAUKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Книги, издания, публикации
 


Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |

«ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ А.А. САМАРСКОГО МАКС J lp e c c М осква уд ББ Утверждено к печати Московским государственным университетом им. М.В. Ломоносова О тветствен н ы е редакторы : д-р ...»

-- [ Страница 1 ] --

А.А. Самарский

ВЫДАЮЩИЕСЯ УЧЕНЫЕ

МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ИЗБРАННЫЕ

ТРУДЫ

А.А. САМАРСКОГО

МАКС J lp e c c

М осква

уд

ББ

Утверждено к печати

Московским государственным университетом им. М.В. Ломоносова

О тветствен н ы е редакторы :

д-р физ.-мат. наук, профессор А.В. Гулин

д-р физ.-мат. наук, профессор В.И. Дмитриев

И збранные труды А.А. Сам арского/ Отв. ред. А.В. Гулин, И32 В.И. Дмитриев. - М.: МАКС Пресс, 2003. - 531 с.

ISBN 5-317-00693Настоящее издание содержит основные работы выдающегося русского математика Александра Андреевича Самарского. Работы сконцентрированы по разделам: математическая физика, теория раз­ ностных методов, математическое моделирование и вычислительный эксперимент.

Результаты, полученные в работах, вошедших в данное изда­ ние, активно используются в настоящее время в научных исследова­ ниях. Книга будет полезна для научных сотрудников, аспирантов и студентов.

УДК 517:519:550.

ББК О А.А. Самарский, 2003 ISBN 5-317-00693-7 О МГУ им. М.В. Ломоносова, 2003 О р аботах А л ек сан д р а А н др еев и ч а С ам ар ск ого А.А. Самарский - крупнейший специалист в области вычисли­ тельной математики и математической физики, один из основоположни­ ков современной методологии математического моделирования и вы­ числительного эксперимента. Разработанные им методы получили ми­ ровое признание и успешно применяются для расчета и моделирования сложнейших процессов и явлений. Его научные интересы - математиче­ ская физика, численное моделирование нелинейных систем, разностные методы. А.А. Самарскому принадлежат фундаментальные результаты теории дифференциальных уравнений как с гладкими, так и с разрыв­ ными коэффициентами, теории нелинейных уравнений, постановка и исследование ряда неклассических задач математической физики. Х а­ рактерным для научного творчества А.А. Самарского является поста­ новка проблем вычислительного эксперимента, проводимого с помощью современных компьютеров, построение теории математического и чис­ ленного моделирования физических процессов, разработка эффективных разностных методов.

Александр Андреевич родился 19 февраля 1919 г. в селе НовоИвановское Донецко-Амвросиевского района Донецкой области Украи­ ны в крестьянской семье. В 1936 году окончил среднюю школу имени А.П. Чехова в Таганроге и в том же году поступил на физический фа­ культет Московского государственного университета. В 1941 году А.А. Самарский ушел добровольцем на фронт в составе народного опол­ чения, и только в 1944 году он смог продолжить учебу в Московском университете.

В 1948 году Александр Андреевич защитил кандидатскую диссер­ тацию, посвященную исследованию влияния возмущения формы облас­ ти на изменение собственных значений оператора Лапласа. Александр Андреевич доказал, что на изменение собственных значений оператора Лапласа влияет емкость того множества, на котором вводятся дополни­ тельные условия типа закрепления. В те же годы А.А. Самарский в соав­ торстве с А.Н. Тихоновым выполнил цикл работ по электродинамике, по возбуждению электромагнитных волн в радиоволноводах. В этом цикле работ сформулирована общая постановка задачи об излучении волн в неограниченных областях. Для полых радиоволноводов произвольного поперечного сечения было установлено существование решения задачи возбуждения произвольным сторонним током. Была установлена пред­ ставимость задачи излучения в виде суперпозиции нормальных волн и строго доказана базисность системы нормальных волн. Для формули­ ровки задач излучения гармонических волн был сформулирован и обос­ нован принцип предельной амплитуды, заключающийся в том, что единin ственное решение задачи излучения определяется как предел при t — со решения соответствующей задачи Коши для нестационарных уравнений.

В дальнейшем эти исследования были продолжены многими математи­ ками, и к настоящему времени теория волноводов сложилась в само­ стоятельный раздел математической физики.

Под руководством А.Н. Тихонова и А.А. Самарского в 1949 году впервые проведен прямой расчет атомного взрыва, а в дальнейшем воз­ главляемая ими научная группа провела расчет динамики взрыва термо­ ядерной бомбы. Проведенные расчеты дали картину развития взрыва и внесли важный вклад в создание термоядерного оружия.

Сложные сис­ темы нелинейных дифференциальных уравнений, возникшие при реше­ нии упомянутых задач, не поддавались решению традиционными мето­ дами. Это было время появления первых ЭВМ и начала бурного разви­ тия вычислительной математики. Именно тогда А.А. Самарский начина­ ет активно работать в области математического моделирования и созда­ ет научную школу в этом направлении. А.А. Самарский становится од­ ним из ведущих в мире специалистов по теории разностных методов. В 1957 году в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша, где он работал в то время заведующим отделом, А.А. Самарский защитил докторскую диссертацию, посвященную постановке и разностным мето­ дам решения нелинейных задач математической физики. В 1957-1958 годах Александр Андреевич доказал однозначную разрешимость кон­ тактной краевой задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. Этот результат является фундаментальным вкладом в теорию уравнений с частными производными и исследования в этом на­ правлении продолжаются и по настоящее время. Среди работ А.А. Са­ марского по математической физике и дифференциальным уравнениям отметим также замечательную работу о неклассических задачах для уравнений в частных производных, большой цикл работ по теории не­ линейных уравнений математической физики, которые моделируют ре­ жимы с обострением. Были разработаны новые аналитические и числен­ ные методы исследования нелинейной стадии процессов, протекающих в режиме с обострением (построение приближенных автомодельных решений, линеаризация решений и сшивание их с асимптотикой, методы операторного сравнения), метод осреднения, исследование инвариантно­ групповых решений квазилинейных параболических и нелинейных эл­ липтических задач. Эти теоретические исследования позволили предска­ зать новые явления инерции тепла и горения, локализации процессов диффузии; впервые в мире были изучены явления диффузионного хаоса.

В 1966 году А.А. Самарского избирают членом-корреспондентом АН СССР, а в 1976 году - академиком.

Александру Андреевичу Самарскому принадлежат фундаменталь­ IV ные результаты в теории сеточной аппроксимации уравнений математи­ ческой физики, в теории устойчивости разностных схем, в теории по­ строения и обоснования методов решения сеточных уравнений.

Первый большой цикл работ А.А. Самарского по теории разност­ ных методов (часть работ выполнена в соавторстве с А.Н. Тихоновым) был посвящен решению стационарных задач математической физики. В этих работах были заложены основы теории однородных разностных схем, сформулирован принцип консервативности однородной разност­ ной схемы как необходимое условие сходимости в классе разрывных ко­ эффициентов, предложены разностные схемы, которые применимы как в случае непрерывных, так и разрывных коэффициентов уравнения.

Второй фундаментальный цикл работ Александра Андреевича по­ священ разностным методам решения нестационарных многомерных за­ дач математической физики, как линейных, так и нелинейных. В этом цикле работ был развит метод априорных оценок, который позволил в различных метриках получать оценку скорости сходимости разностных схем; для операторно-разностных схем предложен принцип суммарной аппроксимации, который послужил основой создания экономичных раз­ ностных схем решения линейных и нелинейных уравнений математиче­ ской физики в областях сложной формы.

В цикле работ А.А. Самарского по теме "Проблема устойчивости в общей теории разностных схем" построена теория устойчивости дву­ слойных и трехслойных разностных схем, рассматриваемых как опера­ торно-разностные уравнения в гильбертовых пространствах. Предло­ женная теория позволяет строить заведомо устойчивые разностные схе­ мы для широких классов задач математической физики, а также прово­ дить регуляризацию неустойчивых схем. Разработанная Александром Андреевичем теория устойчивости нашла применение в таких приклад­ ных областях как численные методы для задач фильтрации, теплопро­ водности, газовой динамики, теории упругости.

Многие результаты теории устойчивости разностных схем нашли свое естественное применение при построении общей теории итераци­ онных методов решения сеточных уравнений, в том числе при исследо­ вании скорости сходимости итерационных процессов, выборе оптималь­ ных значений итерационных параметров. Существенным вкладом в раз­ витие теории итерационных методов является разработка А.А. Самар­ ским универсального попеременно-треугольного метода, построение и обоснование итерационного метода переменных направлений для реше­ ния разностных аналогов краевых задач повышенного порядка точности для уравнения Пуассона, решение проблемы вычислительной устойчи­ вости чебышевского итерационного метода.

За последние годы А.А. Самарский, развивая созданную им тео­ v рию, получил выдающиеся результаты, относящиеся к разностным схе­ мам для неустойчивых задач математической физики, перенес ряд ре­ зультатов теории устойчивости разностных схем на проекционные ме­ тоды, включая метод конечных элементов.

Александром Андреевичем и возглавляемой им группой были проведены исследования методами математического моделирования многих актуальных задач ядерной физики, физики плазмы, управляемо­ го термоядерного синтеза, задач магнитной и радиационной гидродина­ мики, задач лазерной термохимии и конвекции, автокаталитических процессов в химии. В ходе исследования разрабатывались как аналити­ ческие, так и численные методы решения соответствующих уравнений.

Свои научные достижения А.А. Самарский изложил в большом числе монографий и учебников, многие из которых неоднократно пере­ издавались и переведены на иностранные языки.

Александр Андреевич - глава известной научной школы. Среди его учеников свыше 100 кандидатов наук, из которых более 40 защитили докторские диссертации. Научные школы, созданные при непосредст­ венном участии А.А. Самарского, ныне активно работают не только в России, но и в Беларуси, Грузии, Литве, Узбекистане, на Украине. За выдающиеся заслуги в области подготовки научных кадров высшей квалификации ему присвоено почетное звание "Заслуженный профессор Московского университета".

Выдающуюся научно-исследовательскую и педагогическую дея­ тельность Александр Андреевич успешно сочетает с научно­ организационной работой и активной пропагандой необходимости раз­ вития математического моделирования. С 1990 по 1998 год А.А. Самарский являлся директором созданного по его инициативе Ин­ ститута математического моделирования РАН, в настоящее время - со­ ветник Президиума РАН, председатель Ученого Совета и научный руко­ водитель Института математического моделирования. Он является пред­ седателем Национального комитета России по математическому моде­ лированию в рамках Международной ассоциации "Математика и ком­ пьютеры в моделировании", главным редактором журнала "Математиче­ ское моделирование".

Научные и организационные заслуги А.А. Самарского отмечены высокими правительственными наградами. Он - Герой Социалистиче­ ского Труда, лауреат Ленинской и Государственных премий, лауреат премии им. М. В. Ломоносова Московского университета, кавалер мно­ гих орденов, в том числе трех орденов Ленина и солдатского ордена Славы.

А.В. Гулин, В.И. Дмитриев, В.А. Ильин, А. С. Ильинский, Е.С. Николаев

–  –  –

А.А. С А М А Р С К И Й Решена задача об установлении температуры в ограниченной среде (стержень конечной длины) при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоемкость, и в предположении наиболее общей формы краевых условий. Исследованы свойства разрывных собственных функций соответствую щ ей задачи Ш турм а-Л иувилля. Предложен метод определения тепловых констант (коэффициентов теплопроводности и температуропроводности) из наблюдений над нестационарным процессом нагревания исследуемого тела.

Очень часто возникают задачи о распространении тепла в среде, однородные свойства которой нарушаются наличием отдельных областей, например, G j, G 2,, Gn, с повышенной теплопроводностью.

Если размеры этих областей достаточно малы, а теплопроводящие свойства достаточно высоки, то можно пренебречь распределением температуры по их объему, считая, что все тепловые свойства каждого такого объема С г характеризуются его теплоемкостью. Размеры G t в этом случае не будут уже играть существенной роли, и данную задачу можно рассматривать, как задачу о распространении тепла в однородной среде, в которой имеются отдельные точечные массы с конечной теплоемкостью или, как мы будем говорить в дальнейшем, сосредоточенные теплоемкости.

В существующих динамических методах определения тепловых величин Ангстрема [1] и Кондратьева [2] для эксперимента создаются условия, направленные к исключению влияния нагревателя.

Между тем несомненно, что учет влияния нагревателя дает более полную характеристику теплового процесса. Такой учет может быть произведен соответствующей модификацией краевых условий, * Вестник М Г У, № 3, 1947 г., с. 85-102.

Настоящая статья представляет собой первую часть работы автора, выполненной под руководством чл.-корр. АН СС СР А.Н. Тихонова. Автор учел также ряд ценных замечаний, сделанных Ю Л. Рабиновичем.

А.А. Самарский. Избранные труды если рассматривать нагреватель, как сосредоточенную теплоемкость.

На это обстоятельство впервые указал в 1939 г. А.Н. Тихонов (в неопубликованной работе), который дал теорию метода определения тепловых констант, основанного на изучении нагревания неограниченной среды с учетом нагревателя.

В настоящей работе изучается нагревание ограниченной среды и дается соответствующий метод определения констант. В математическом отношении наша задача близка к кругу задач о колебаниях систем с сосредоточенными нагрузками. Такого рода задачи неоднократно ставились и решались, но исключительно для механических и электромагнитных систем. Еще Пуассон в 1820 г. исследовал вопрос о движении тела, подвешенного к концу упругой нити. Академик А.Н. Крылов [3] показал, что к этой задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильные колебания вала с маховиком на конце, изучение разного рода "дрожащих клапанов" и др. А.А. Витт [4], изучая колебания антенны, в заземленный конец которой включена катушка самоиндукции или конденсатор, пришел к задаче того же типа, что и рассмотренные выше. Особое практическое значение этот круг вопросов получил в связи с исследованиями вибраций крыла самолета, теория расчета которых с учетом сосредоточенных масс изложена в работе А.Н. Комая [5].

Перейдем к изложению предлагаемой работы.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Мы ставим своей целью определение тепловых констант (т.е.

коэффициентов теплопроводности к' и температуропроводности а 2) из процесса нагревания тонкого стержня (длины I), один конец которого граничит с печью, а второй изолирован.

Предположим, что:

1. Стержень сделан из однородного материала, который характеризуется константами к', а 2 и С\ (теплоемкость единицы длины).

2. Радиальными потоками внутри стержня пренебрегаем и считаем, что температура во всех точках поперечного сечения одна и та же и описывается функцией и(х, t), где х - расстояние от конца стержня, граничащего с печью, a t - время.

3. Печь сделана из материала с высокой теплопроводностью, г поэтому будем считать, что выравнивание температуры в печи Раздел 1. М атематическая физика происходит достаточно быстро, так что температура печи описывается функцией U{t).

Явления на границах печь - стержень, печь - воздух, стержень 4.

- воздух подчиняются закону Ньютона, так что:

а) тепловой поток из печи в стержень равен

–  –  –

где h = Л'S i, h' - коэффициент теплоотдачи печи в стержень, Si

- площадь поперечного сечения стержня, [U(t)—u(0, f)] - температурный скачок па границе.

Тепловой поток из печи в воздух равен

–  –  –

где аг = ct'2 S2, 0 - 2 - коэффициент теплоотдачи печи воздуху, S

- поверхность печи, щ - температура окружающего воздуха.

Ь) Тепловой поток с единицы длины стержня в воздух равен

–  –  –

где «1 = a'iSa, a'j - коэффициент теплоотдачи, S 3 - поверхность единицы длины стержня.

5.Температура окружающего воздуха щ постоянна, и принята за начало отсчета температуры, т е. щ — 0.

.

Перейдем теперь к выводу условий, которым должны удовлетворять температура стержня u ( x,t ) и температура печи (7(f).

Рассматривая, как обычно, бесконечно малый элемент длины dx и составляя для него уравнение теплового баланса, получим:

( 1) Здесь к = к1 Si - коэффициент теплопроводности, отнесенный ко всему поперечному сечению.^

Разделив обе части (1) на к, получаем1:

(!') где a 2 = k /C i, ft2 — a\/k.

к, в соответствии с пунктом 1, считаем постоянным.

_________ А.А. Самарский. И збранные труды_____________

Для печи, очевидно, уравнение теплового баланса будет иметь вид:

–  –  –

Справа - количество тепла, вытекающее из печи, слева - количество тепла, втекающее в стержень.

На втором конце стержня (при х = I) - условие термоизоляции:

–  –  –

Прежде чем дать окончательную математическую формулировку поставленной задачи, заметим, что так как пространственная протяженность печи никак не входит ни в одно из написанных выше соотношений, то будем считать печь точечной и характеризовать ее точкой х — 0. Это позволит характеризовать температуру системы печь - стержень одной функцией U (x,t), которая является разрывной функцией, имеющей конечный разрыв при х — 0, и аналитически выражается следующим образом:

–  –  –

При этом ищутся решения, для которых функция u ( x,t ) = U (x,t), определенная в интервале 0 х I, может быть непрерывно продолжена на х = 0, так что U( 0 + 0,t) - температура, а — 8 U/ д х ( 0 + 0, t) - поток на конце стержня, граничащем с печью3.

к

–  –  –

Ль Аг, • • •, А„,.. которым соответствуют собственные функции X i(x), Х 2 (х),..., Х п( х ),... (О х I), причем каждому собственному значению Ап соответствует только одна собственная функция Х п(х).

Эти собственные функции (ЛГ^а;)} непрерывны в области (0 / ), но терпят разрыв при = 0, так что можно записать:

–  –  –

где Yn(x) соответствует точкам стержня, a Zn - печке. Это обстоятельство является следствием наличия перепада температур между печкой и стержнем. Функции {ЛТп(х )} удовлетворяют условиям ортогональности с нагрузкой на отрезке 0 х I (см. след. §).

Решение (IV) будем искать в виде:

–  –  –

3. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Хотя условие ортогональности собственных функций нашей задачи легко следует из общей теории (как это будет показано в дальнейшем), Раздел 1. М атематическая физика мы получим это условие, исходя из простых физических соображений.

Прежде всего уравнение (IVi) может быть записано в виде:

(

–  –  –

Х п(х), определенные на отрезке 0 х I, неортогональны в прежнем смысле. Условие (20), которому они удовлетворяют, называют, следуя А. Кнезеру, условием ортогональности с нагрузкой; оно соответствует наличию в точке х = 0 сосредоточенной теплоемкости С2.

А.А. Самарский. И збранные труды К нему приводит также ряд задач на колебания струны с сосредоточенными массами и задач на установившиеся колебания в кабеле с сосредоточенными емкостями или самоиндукциями (наличие сосредоточенных масс и емкостей приводит к тому, что в краевые условия соответствующих задач Штурма - Лиувилля входит собственное значение Л).

Впервые задачи такого типа были исследованы А.Кнезером [6], в частности, он рассматривал колебания струны с распределенной плотностью р(х), в некоторых точках которой Х\,Х2, - - -, х р сосредоточены массы М г, М г,..., Мр. В этом случае собственные функции соответствующей задачи Штурма - Лиувилля Pi(x) и Pj(x) удовлетворяют требованию:

–  –  –

А.Кнезер показал, что такая задача Штурма - Лиувилля эквивалентна так называемому нагруженному интегральному уравнению (belastete Integralgleichung), для которого справедлива вся теория Гильберта-Шмидта обычных интегральных уравнений с симметрическим ядром. Нетрудно видеть, что такого рода интегральное уравнение естественнее трактовать как уравнение, в котором интеграл взят в смысле Стильтьеса. А.Комай [5], исследуя вопрос о совместных крутильно-изгибных колебаниях крыла с сосредоточенными грузами, также пришел к условиям типа (21). Заметим, что условия (20) могут быть выведены п чисто формальным путем из уравнения и краевых условий (IV). Вывод мы здесь не приводим.

Нормируем собственные функции так, чтобы коэффициенты

–  –  –

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ

Как будет показано в дальнейшем (ч. II), всякая функция f ( x ), заданная на отрезке 0 х I, удовлетворяющая краевым условиям (IV) и обладающая достаточной гладкостью, т.е. непрерывная и дважды непрерывно-дифференцируемая, на отрезке 0 х I (допускающая разрыв при х = 0), может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям краевой задачи (IV), т.е.,

–  –  –

где Ап - неизвестные пока коэффициенты, к вычислению которых мы и переходим. Написанный ряд (25) абсолютно и равномерно сходится для всех 0 x l n t 0. В силу этого выполняется начальное условие

–  –  –

Для t 0 ряд (25) можно почленно дифференцировать дважды по z и один раз по t, так как получающиеся в результате этого дифференцирования ряды будут тоже равномерно сходящимися (это следует из того, что все члены полученных рядов содержат множитель exp { - a 2 fi2n ~ e x p { - a 2n2t}, который для t 0 и обеспечивает t} сходимость).

Таким образом, мы нашли решение задачи (I), удовлетворяющее

Уравнению и краевым условиям, в следующем виде:

14 А.А. Самарский. Избранные труды при д С 2а 2/32:

–  –  –

5. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕПЛОВЫХ КОНСТАНТ

Константы, с которыми мы имеем дело в рассматриваемой задаче, делятся на две группы:

I. Константы печи; таковы а 2 - коэффициент теплоотдачи печи в воздух, С 2 - теплоемкость печи.

И. Константы материала, связанные с наличием исследуемого образца, таковы:

коэффициент теплопроводности, отнесенный ко всему кпоперечному сечению стержня;

h - коэффициент теплообмена печи со стержнем, отнесенный ко всему поперечному сечению стержня;

a i - коэффициент теплоотдачи стержня в воздух, отнесенный к единице длины;

а 2 - коэффициент температуропроводности;

С\ - теплоемкость единицы длины (при этом а 2 = к/С\).

Раздел 1. М атематическая физика 15 Характеристики печи а 2 и С2 должны быть известны заранее, перед началом измерений.

Н о они могут быть определены и из опыта, для чего следует поступить таким образом.

1. Для определения коэффициента теплоотдачи с*2 стержень отключается от печи и отверстие теплоизолируется (что может быть сделано с достаточной степенью точности в силу малости отверстия), затем печь нагревается до стационарной температуры. В этом случае уравнение (2) примет вид:

Q'o - oc2U' = О,

Откуда «2 = Q'o/U'.

Величина Q'0 находится по формуле Qo = 0,24 J V, где J - сила тока, а V - подводимое к печке напряжение. Стационарная температура печи U измеряется непосредственно с помощью термопары.

2. Для определения теплоемкости печи С2 стержень отключается от печи, отверстие теплоизолируется и снимается кривая U — U(t) при нагревании.

Уравнение(2) дает

–  –  –

Далее, кривая U = U{6 ) сравнивается с экспериментальной кривой U — U{t) и таким образом определяется величина а 2 / С 2, а так как коэффициент а 2 уже известен из п. 1, то отсюда находится теплоемкость С2.

Мы рассмотрим отдельно два случая: стационарный режим известен (например, быстро достигается и поэтому может быть измерен) и стационарный режим трудно достижим, и все измерения ведутся при А.А. Самарский. Избранные труды нестационарном процессе нагревания, именно при "регулярном" или "правильном" режиме. Поясним, что это значит.

Как было доказано выше, решение нашей задачи выражается функцией

–  –  –

где = Xu/ a 2 — p 2, а A(1 - собственные значения, определяемые из уравнения (13). Так как Ai Аг... An_i А„ A„+i..., то и fi'l $... 1 1 1 (1 2+1...

п В первой стадии нагревания системы, т.е. при малых значениях времени t, несколько членов ряда (29), следующих за его старшим членом, будут величинами того же порядка, как и старший член. Однако ряд (29) - быстро сходящийся, и быстрота его сходимости тем больше, чем больше время t. С возрастанием t каждый член ряда в силу вышенаписанных неравенств делается исчезающе малым по сравнению с предыдущим, и сумма всего ряда будет отличаться на сколь угодно малую величину от старшего его члена; следовательно, температура U(x,t) задолго до того, как стать физически стационарной, с достаточной точностью выражается формулой

–  –  –

Эта стадия процесса и называется "регулярным режимом". Мы будем производить измерения на регулярном режиме, т.е. пользоваться формулой (30), которая эквивалентна следующим двум равенствам:

–  –  –

где u(xi) измеряется непосредственно, Qo вычисляется по данным силе тока и напряжению в цепи печи, остальные величины нами уже найдены согласно (31), (33), (34).

4. Коэффициент теплоотдачи стержня в воздух

–  –  –

Прежде всего снимаются кривые и = и(х, t) в нескольких точках стержня (вообще говоря, достаточно измерений в двух точках, а измерения в других точках важны для контроля) и кривая U = U(t).

Раздел 1. М атематическая физика

–  –  –

Это уравнение решается графически относительно и.

б) Далее, возьмем температуру печи в моменты t и t + to, где t0 имеет некоторое постоянное значение, а t меняется; тогда

–  –  –

после чего U(t + to) - U(t) — К е х р {—r 2 t}, откуда ln |[/(t+ to ) — U {t)| = J n К - r 2 t.

Отсюда видно, что для определения т 2 следует построить график \n\U{t+to) — U (t)| (пользуясь экспериментальными данными); угловой коэффициент построенной таким образом прямой и даст нам значение т 2, а отрезок, отсекаемый этой прямой на оси ординат, даст нам величину

In К ; зная же \пК и т 2, легко находим:

–  –  –

где к известно из 2.

В случае а 2 С2 а 2 0 2 следует воспользоваться соответствующим образом модифицированными формулами (37)-(42), которые мы здесь не приводим.

Таким образом, мы показали возможность определения всех констант материала, основываясь только на измерениях при регулярном режиме.

В заключение укажем, что не ставя своей задачей проведение экспериментальных работ, мы, однако, в качестве иллюстрации применимости развитого выше метода определения тепловых констант произвели один опыт на известной установке Барата и Винтера, которой обычно пользуются для опытов при стационарном режиме.

Образцом служил металлический стержень длиной 22 см и Диаметром 0,8 см. Все измерения велись при регулярном режиме, который достигался через 15-20 минут после включения печи, тогда как стационарная температура устанавливалась через 3 часа. Кроме данных А.А. Самарский. И збранные труды 22 нестационарного опыта мы пользовались измерениями на стационарном режиме. При этом вычисление коэффициента теплопроводности велось по формуле (33). Вычисления показали хорошее совпадение для значений коэффициента теплопроводности, вычисленных для регулярного режима (к — 0,20) и для стационарного режима (к = 0,19)

ЛИТЕРАТУРА

1. Ann. d. Phys., 114, 513, 1861; 123, 628, Angstrom.

1864; Е.Г. Швидковский. Изучение температуропроводности металлов по методу Ангстрема, ЖТФ, т. VIII, вып.Ю, 1938.

2. Г.М. Кондратьев. Изв. Всесоюзн. теплотехнич. ин-та, 7(66), 1931; ЖТФ, т. 1, вып. IV, 1931; Испытание на теплопроводность по методу регулярного режима, 1936; Исследования в области тепловых измерений и др.

3. А.Н. Крылов. Вибрация судов. 1935.

4. А.А. Витт. Неоднородная нагруженная антенна, ЖТФ, т.5, вып. 1, 1928.

5. А.И.Комай. Труды ЦАГИ им. Жуковского, вып.472, 1940.

6. A. Kneser. Die Integralgleichungen und ihre Anwendung in der mathematischen Physik. 1922, SS.191 -197; A. Kneser. Rendiconti del circolo matematico di Palermo, t.38, 1914.

7. Gunter. Studia Mathematica, t. IV, 1932.

8. Lichtenstein. Studia Mathematica, t. Ill, 1931.

9. Гливенко. Интеграл Стильтьеса, ОНТИ, 1936.

Раздел 1. М атематическая физика 23

–  –  –

А.А. С А М А Р С К И Й Большое число задач из различных областей физики приводится к задачам на отыскание собственных значений уравнения

–  –  –

При этом часто возникает вопрос об изменении собственных частот в зависимости от изменения области.

В 1927 году П.Эренфест [1] столкнулся с аналогичным вопросом при написании уравнения Шрёдингера для идеального одноатомного газа. Ошибочно считая, что закрепление п-мерного объёма по многообразию п — 3 измерений, являющееся следствием абсолютной непроницаемости молекул, приводит к радикальному изменению спектра собственных частот, Эренфест получил статистику Ферми- Дирака для идеального одноатомного газа; при этом он пользовался только требованием абсолютной непроницаемости молекул. Вскоре, однако, Эренфест вынужден был отказаться [2] от полученных им результатов.

А. Витт и С. Шубин, пытаясь разъяснить ошибку Эренфеста, доказали [3] в 1931 г. следующую теорему.

Если закрепить на мембране конечное число областей, то при стягивании этих областей в точки, причём и площади областей и длины стягивающих их кривых стремятся к нулю, частоты колебаний мембраны будут стремиться принять те первоначальные значения, которые они имели до закрепления.

Вопрос о возможности самого закрепления мембраны в точке авторы не исследуют.

В настоящей работе исследуется проблема закрепления замкнутых объёмов произвольного числа измерений и 1) устанавливается наиболее ‘ ДАН С С С Р, т. L X III, № 6, 1948 г„ с.6 3 1-634.

А.А. Самарский. Избранные труды широкий класс множеств (множества ёмкости нуль), закрепление по которым не меняет собственных частот; 2) вычисляется поправка для собственных значений при закреплении по малым областям.

§ 1. Рассмотрим некоторую область Т, ограниченную замкнутой поверхностью Г, удовлетворяющей условию Ляпунова [4]. Пусть Е - произвольное замкнутое множество, целиком содержащееся внутри Т ; Те - дополнение Е до Т. Аппроксимируем область Те последовательностью областей {тп} с границами { 7„ } и Г, причём т С rn+i с... С Те. Обозначим через дп дополнение замкнутой п области т„ до Т.

Рассмотрим краевую задачу

–  –  –

Нас интересует изменение собственных значений Х при °к введении дополнительного требования закрепления (v = 0 на Е) для собственных функций, а также зависимость этого изменения от структуры множества Е.

Мы воспользуемся экстремальной теорией собственных значений, рассматривая вместо задачи (1) и (1-^) соответствующие вариационные задачи для функционалов

–  –  –

Множество Е мы характеризуем ёмкостью, введённой впервые Винером [5]. Назовём ёмкостью множества Е относительно границы Г величину

-лю бая гладкая поверхность, содержащая Е.

§2. Теорема 1. Если функция v(M ) удовлетворяет уравнению

–  –  –

и ограничена в окрестности множества Е нулевой ёмкости, то она дифференцируема и удовлетворяет уравнению (7) во всех точках множества Е.

Следствие. Если существует функция v(M ), удовлетворяющая уравнению (7), граничному условию v — 0 на Г и дополнительному условию на множестве ёмкости нуль, то она является собственной функцией порядка выше первого для уравения (7).

Определение 1. Совокупность всех внутренних точек области Т, в которых обращается в нуль решение уравнения (1), назовём полным множеством закрепления.

Теорема 2. Множество ёмкости нуль не может быть полным множеством закрепления.

Таким образом, закрепление по множеству ёмкости нуль не является характерным для уравнения (4) и всегда связано с закреплением по множеству положительной ёмкости. Известно, что всякое физически реальное закрепление, например мембраны, производится по некоторой области. Из теоремы 2 следует, что закрепление в одной изолированной точке лишено и математического смысла.

Поэтому, если мы хотим говорить о закреплении в точке, то под этим следует понимать закрепление по малой области, содержащей данную точку.

Определение 2. 5-закреплением по множеству Е будем называть закрепление по области, содержащейся в 5-окрестности UE множества Е (5 0 - любое сколь угодно малое число).

Определение 3. Назовём А* "собственным значением для квази-закрепления по множеству Е", если А* является пределом при 26_____________А.А. Самарский. Избранные труды_____________

— 0 собственных значений Л|, соответствующих (5-закреплению по 5 множеству Е.

Заметим, что: 1) мы ничего не предполагаем о площади поверхности, являющейся границей области закрепления (соответствующее предположение в теореме Витта - Шубина являются излишними); 2) предельные значения Л* могут и не соответствовать реальному закреплению; 3) результат Витта и Шубина можно выразить словами: при квази-закреплении мембраны в конечном числе точек её тона остаются неизменными.

§3. Основной целью нашей работы является доказательство следующей теоремы.

Теорема 3. При квази-закреплении основной области Т по множеству Е ёмкости нуль собственные значения уравнения Л и + Л ° и = 0 при граничном условии и = 0 на Г остаются неизменными.

Теорема 4. Для того чтобы наименьшее собственное значение уравнения А и + Л ° и = 0 при и — 0 на Г оставалось неизменным при квази-закреплении основной области по множеству Е, необходимо и достаточно, чтобы ёмкость множества Е была равна нулю.

Нетрудно убедиться в том, что все полученные выше результаты могут быть распространены на случай краевого условия вида ди

- — I- о и = 0 на Г, ди а также на уравнения общего вида:

Ь[и) + Хри = О,

где L[u] — div(p grad и) —qu.

§4. Таким образом, из теоремы 3 следует, что если область закрепления мала, то и собственные значения меняются мало. Нами найден порядок величины изменения собственных значений.

Теорема 5. При закреплении основной области Т по множеству Е малой ёмкости наименьшее собственное значение А° уравнения А и + AJu = 0 меняется на величину, имеющую порядок ёмкости множества Е, точнее,

–  –  –

Ёмкость малой области Е имеет более низкий порядок малости по сравнению с объёмом V (E ) (если е - диаметр области Е, то с(Е) ~ 1/ 1п(1/г) в двумерном случае и с ( ) ~ е в трёхмерном случае, a V (E ) ~ 2 и V ( ) ~ е3, соответственно).

В формуле (8) точками обозначены члены более высокого порядка малости по сравнению с первым членом 4тт с(Е, Г).

к\ Пример круглой мембраны, закреплённой в центре по малому кругу, показывает, что коэффициент перед ёмкостью не может быть изменён. Для первого собственного значения оценка (8) является точной. Для собственных значений высокого порядка аналогичная оценка также верна, однако лишь для более малых областей и притом в мажорантном смысле. Очевидно, что эта оценка является более точной при закреплении по изолированной области Е. Вопрос равномерности оценки нами не исследован.

В заключение автор выражает выражает горячую благодарность члену-корреспонденту АН СССР А.Н.Тихонову, по предложению и под руководством которого выполнена настоящая работа.

ЛИТЕРАТУРА

1. P.Ehrenfest, Die Naturwissenschaften, 15, Н.7(1927);

P.Ehrenfest u.GE.Uhlenbeck, Z.f.Phys., 41, 576(1927)

2. P.Ehrenfest, Die Naturwissenschaften, 15, H.11(1927)

3. A.Bumm, С.Шубин, ЖТФ, 1, в.2-3 (1931)

4. N.M.Gunther, La theorie du potentiel et ses applications aux problemes fondamentaux de la physique mathematique, Paris, 1934

5. N. Wiener, J.Math. Phys., 3, 24(1924); M.B.Келдыш, Усп. мат.

наук, N8(1940).

28_____________ А.А. Самарский. Избранные труды____________

К ТЕО РИ И ВО ЗБУЖ ДЕН И Я РАДИОВОЛНОВОДОВ *

А.Н. Т И Х О Н О В, А. А. С А М А Р С К И Й

ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о возбуждении цилиндрических радиоволноводов изучался в работах Щелкунова [1], Мандельштама [2], Слэтера [3], Кисунько [4].

Щелкунов рассматривал задачу возбуждения круглого цилиндрического волновода элементом электрического или магнитного тока, параллельным оси.

Решение этой задачи сводится фактически к построению функции источника для уравнения 0, А и + к 2и = () с краевыми условиями и — 0 (электрический ток) или д и / д v = О (магнитный ток). Щелкунов для построения функции источника пользовался весьма специальным интегральным представлением фундаментального решения егкт (4лт), добавляя к нему регулярное / слагаемое, которое в сумме с фундаментальным решением удовлетворяло бы требуемым краевым условиям и принципу излучения.

Мандельштам [2] также занимался теорией возбуждения круглых цилиндрических волноводов. Однако он искал решение, пользуясь обычным методом разделения переменных.

Слэтер в своей книге "Передача ультракоротких радиоволн", ссылаясь на неопубликованные результаты Синге и Щелкунова, приводит приближенное решение задачи возбуждения простейшей волны Ню электрическим диполем, параллельным одной из сторон перпендикулярного сечения прямоугольного волновода.

Щелкунов и Сэлтер применяют найденные решения к вычислению активной составляющей сопротивления излучения.

Вопросом о возбуждении волноводов объемными токами занимался Кисунько [4].

В настоящей работе мы излагаем решение задачи о возбуждении цилиндрических радиоволноводов произвольного сечения при помощи любых токов, расположенных внутри волновода.

В естник М Г У, 1948, № 7, с.39-60.

Раздел 1. М атематическая ф изика 29 В §1 дана постановка проблемы возбуждения волноводов токами.

Показано, что проблема сводится к построению функции источника Герца. В случае электрического или магнитного элемента тока, параллельного оси, эта функция является функцией источника для волнового уравнени

–  –  –

Производится построение функций источника, выясняется характер их особенности и сходимость их определяющих рядов (§3).

В силу полноты системы волн ТЕ и ТМ, всякое электромагнитное поле в волноводе представимо в виде их суммы (§2).

На основании этой теоремы задача о возбуждении произвольными токами сводится к нахождению двух скалярных функций Герца Ze и Zm, которые выражаются соответственно через электрическую и магнитную функцию источника Пе и П,п. Для функций Пе и Пт найдено представление в виде ряда по собственным функциям мембраны, имеющей форму перпендикулярного сечения (§4).

Общие формулы для электромагнитных полей, возбуждаемых в волноводах токами, позволяют провести вычисления активной части сопротивления излучения для произвольных токов (§5). Отсюда, в частности, легко получаются результаты Щелкунова и Сэлтера (§6).

Изучение реактивной составляющей сопротивления излучения линейных токов показывает, что реактанц имеет конечную величину только для настроенного диполя (§7). В §8 даны формулы величины реактанца полуволнового диполя, параллельного оси цилиндрического радиоволновода произвольной формы. Затем производится сравнение полученных выше формул с результатами работы Левина [5], в которой проведено вычисление реактанца полуволнового диполя, расположенного вдоль оси круглого волновода. В конце §8 проводится вычисление реактанца для диполя, перпендикулярного оси прямоугольного волновода.

А.А. Самарский. Избранные труды

1. П ОСТА Н О ВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим полый цилиндр Е, неограниченно простирающийся в направлении оси г. Стенки цилиндра Е будем считать идеально проводящими. Пусть форма перпендикулярного сечения S определяется кривой С.

Нас интересует возбуждение волновода Е линейным током L, интенсивность которого характеризуется функцией

J= J o f ( s ) e (f ( s ) 1),

где s - длина дуги вдоль линии L. Мы будем изучать установившийся процесс, считая, что все величины электромагнитного поля пропорциональны временному множителю e~twt. Этот множитель в дальнейшем опускается.

Задача состоит в нахождении электромагнитного поля, возбуждаемого током L. Условиями, определяющими это поле, являются:

I. Уравнения Максвелла

–  –  –

2. ПОЛНОТА С И С Т ЕМ Ы ВОЛН ТЕ И ТМ 1

Рассмотрим внутри волновода некоторое электромагнитное поле, регулярное всюду в области г 0. Покажем, что это поле можно представить в виде суммы Ё = Ё {1) + Ё [2) Я = Я (1) + Я (2), (5)

–  –  –

где G 2(M, M ) - функция Грина мембраны S, закрепленной по контуру С, G2(M, М ) - функция Грина свободной мембраны S.

Такое определение является однозначным и возможно для тех областей S, для которых существует функция Грина.

Функции E z и Hz имеют непрерывные производные по 2 в области z 0 (см. [6]). Поэтому непосредственным дифференцированием можно убедиться в том, что функции Ze и Zm, определяемые формулами (12), удовлетворяют волновым уравнениям (9) и, следовательно, уравнениям (8).

Итак, считая поле заданным всюду в области z 0 и беря только две компоненты E z и Нг, мы нашли векторы Герца Ze и Zm, которым, согласно [6], соответствует векторное поле { Е,Н }. Нужно доказать, что оно тождественно совпадает с полем заданным.

Не имея возможности останавливаться на доказательстве подробно, укажем, что задача нахождения всех компонент электромагнитного поля по заданным Е г и Hz редуцируется к известной проблеме Гильберта: найти две сопряженные функции и(х, у) и v(x, у) внутри области S, определяемые условиями

–  –  –

где P (s) - некоторая заданная на контуре С функция дуги s, а и в _ направляющие косинусы касательной к С в точке s.

Проблема Гильберта, как известно, имеет единственное решение.

3. ФУНКЦИИ ИСТОЧНИКА2

–  –  –

где К - константа, определяемая из условия возбуждения II.

При этом в качестве функции П мы берем функцию источника, определяемую как решение волнового уравнения (1) по переменным (M,z ) и (Мо,С). удовлетворяющее краевому условию П = 0 на Е, принципу излучения IV и имеющее особенность типа егкг/{Аттг) при совпадении аргументов. Она представима в виде суммы

–  –  –

С другой стороны, из формулы Н = votZ видно, что (17) Пользуясь (16), (17) и условием возбуждения (3'), получаем

–  –  –

Для доказательства сходимости ряда, определяющего П, требуется установить оценки собственных функций мембраны фп и их производных до второго порядка включительно. Нами показано [7], что имеют место следующие неравенства:

–  –  –

Задача о возбуждении волновода элементом магнитного тока, параллельным оси 2 (бесконечно малая петля с электрическим током в плоскости S), приводит нас ко второй функции источника:

–  –  –

где П и П - регулярные всюду решения волнового уравнения; функции e!fc’ /(47rг) зависят только от разности координат точек [M (x,y),z] и [ Щ х о,у 0), г], поэтому правые части формул (26) обладают нужными особенностями. Кроме того, так как дП /d z = 0 и d f l/d z = 0 на Е по аргументам (M,z) при любом положении точки (Мо, z), то отсюда следует, что дифференцирование по параметрам ato, уо не меняет краевых условий.

38 А.А. Самарский. Избранные труды

С другой стороны, из общих формул (6) имеем:

–  –  –

Рассмотрим теперь элемент тока L, помещенный в точку ( M o, С ) и имеющий произвольное направление, характеризуемое единичным вектором s°(а, /3,7).

Электромагнитное поле {Е, Н } по-прежнему представляем в виде (19), причем

–  –  –

Отметим, что согласно (32), функция П,„ не зависит от у.

Соответствующие функции Герца определяются согласно (24).

Нетрудно перейти к случаю поверхностных и объемных токов.

Функции Герца при этом даются соответствующими поверхностными или объемными интегралами [по аналогии с (30)]. Дальнейшее вычисление полей производится по формулам (6).

Тем самым задача о возбуждении любого цилиндрического волновода произвольными токами решена полностью.

5. СО П РО ТИ ВЛ ЕН И Е ИЗЛУЧЕНИЯ (АКТИ ВНАЯ ЧАСТЬ)

Развитая выше теория возбуждения волноводов заданными токами может быть применена для расчета сопротивления излучения возбуждающих токов.

А.А. Самарский. И збранные труды Сопротивление излучения проводника с током J — J 0/ ( s ) (/(.s) 1) определяется как отношение

–  –  –

где Wr - мощность излучения, представляющая собой предел, к которому стремится поток комплексного вектора Пойнтинга [EH*] (Н * - комплексно сопряженный вектор для Н ) через S= поверхность П, охватывающую проводник L, при стягивании П к поверхности проводника; R ^ и - активная и реактивная составляющие.

Комплексная теорема Пойнтинга [1, 10] дает:

–  –  –

(метод наведенных эдс).

Перейдем к вычислению активной части сопротивления излучения произвольного тока L. Воспользуемся формулой (23) и выражениями для {Е, Н } из (6):

–  –  –

Вычисление реактанца может быть проведено по формуле (34).

Однако, при этом возникает вопрос о конечности реактанца, что связано со сходимостью его определяющего объемного интеграла. В дальнейшем мы вернемся к изучению этого вопроса.

Формулы, определяющие сопротивление излучения R-a и показывающие его конечность во всех случаях, выражают устойчивость этой физической величины. Отсюда следует, что актвную часть можно вычислять независимо от того, конечен или бесконечен реактанц.

Те же результаты могут быть получены и методом наведенных эдс, если исходить из формулы где значения тангенциальной компоненты электрического поля берутся на проводнике.

6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ. ФОРМУЛЫ ЩЕЛКУНОВА И

СЛЭТЕРА

Общие формулы сопротивления излучения (40) дают возможность легко получить результаты Щелкунова и Слэтера.

Для удобства сравнения перейдем в наших формулах к практической системе единиц Георги, в которой основные соотношения принимают вид:

(43)

–  –  –

где i%ui — fi2 n — Атпа2, b - расстояние элемента тока от оси 2.

m Нетрудно получить аналогичным способом и формулу для сопротивления излучения элемента магнитного тока, параллельного оси г. Как указывалось в §3, задача о возбуждении волновода магнитным током, параллельным оси волновода, решается с помощью второй функции источника

–  –  –

Если в волноводе распространяется только одна волна Ню (т = 1, п — 0), то мы получим формулу Слэтера [2, 10]:

(46)

7. О РЕАКТАНЦЕ ЛИНЕЙНЫХ ТОКОВ

В настоящем параграфе мы докажем, что только для настроенного диполя5 величина реактанца конечна.

Мы установим сначала справедливость этого утверждения дл неограниченного пространства. Отсюда же будет следовать справедливость его для любых объемов (для волноводов и эндовибраторов).

Пусть в неограниченном пространстве находится прямолинейный проводник L длины 21, на котором задано распределение тока J - Jof{z), |/(z)| l.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |

Похожие работы:

«Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт материаловедения Хабаровского научного центра ДВО РАН Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Дальневосточный государственный университет путей сообщения» Пугачевский Максим Александрович СТАБИЛИЗАЦИЯ НАНОЧАСТИЦ ОКСИДОВ ПЕРЕХОДНЫХ МЕТАЛЛОВ IV ГРУППЫ ПРИ ЛАЗЕРНОЙ АБЛЯЦИИ 01.04.07 – физика конденсированного состояния Диссертация на соискание ученой степени доктора...»

«© М.Х. Шульман, 2006 М.Х.Шульман ВРЕМЯ И КВАНТОВОЕ ПОВЕДЕНИЕ Настоящая публикация представляет собой литературную версию доклада, сделанного автором на Российском междисциплинарном семинаре по исследованию природы времени 23 мая 2006 г. В докладе обосновываются следующие тезисы:• Пространственно-временная структура мира, в том числе ее релятивистский характер, проистекают из свойств квантовых объектов. • Математическая “экзотика” аппарата квантовой физики сводится к двум составляющим: первая...»

«Статистико-аналитический отчет о результатах ЕГЭ ФИЗИКА в Хабаровском крае в 2015 г. Часть 2. Отчет о результатах методического анализа результатов ЕГЭ по ФИЗИКЕ в Хабаровском крае в 2015 году 1. ХАРАКТЕРИСТИКА УЧАСТНИКОВ ЕГЭ Количество участников ЕГЭ по предмету % от общего % от общего % от общего Предмет чел. числа чел. числа чел. числа участников участников участников Физика 1909 24,72 1416 21,29 1406 23,94 В ЕГЭ по физике приняло участие 1406 человек, из которых 73,97% юношей и 26,03%...»

«ю. в. и с т о ш и н О К ЕА Н О Л О ГИ Я Д опу щ е н о Главным управлением Гидрометеорологической службы при Совете Министров СССР в качестве учебника для гидрометеорологических техникумов ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛЕНИНГРАД * 1969 УДК 551.4 В книге дается представление о всех про­ цессах, происходящих в Мировом океане. Рас­ сматривается рельеф дна океанов и морей, оптические, акустические, электрические и радио­ активные свойства морской воды, вопросы физики и динамики моря, режим...»

«Дорогой абитуриент! ФУПМ готовит специалистов по прикладной математике. Особенности работы наших выпускников — участие в конкретных проектах, имеющих заказчиков и, как правило, жесткие сроки выполнения. Работа математика-прикладника обычно требует много сил и полной самоотдачи. Поэтому, если Вы любите напряженную и увлекательную творческую работу и хотите видеть конкретный выход, то прикладная математика для Вас. На нашем факультете за многие годы сложился уникальный микроклимат, все ведущие...»

«Спонсоры Министерство промышленности и торговли Российской Федерации Российский фонд фундаментальных ислледований Московский физико-технический институт Организационный комитет В.М. Заико – coпредседатель заместитель заведующего кафедрой физики живых систем МФТИ К.И. Агладзе – сопредседатель заведующий лабораторией биофизики возбудимых систем МФТИ А.В. Мелерзанов декан факультета биологической и медицинской физики МФТИ Е.В. Петерсен Н.А. Ильюшенкова В.В. Бревнов – ученый секретарь Д.А. Ивлев —...»

«Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова» Факультет мониторинга окружающей среды Кафедра радиоэкологии В. И. Гутько АКТИВАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КУРС ЛЕКЦИЙ Минск УДК 543.522(075.8) ББК 24.4я73 Г97 Рекомендовано к изданию научно-методическим советом МГЭУ им. А. Д. Сахарова (протокол № 6 от 21 февраля 2007 г.). Автор: кандидат технических наук В. И. Гутько. Рецензенты: профессор кафедры радиоэкологии...»

«МКУК ЦБС им. Л. Н. Толстого Октябрьского района Методико-информационный отдел Информационный бюллетень «НОВЫЕ КНИГИ» [Отраслевая литература] Выпуски № 1-2. Новосибирск Содержание Естественные науки. Математика. Физика. Физические науки. Географические науки. Биологические науки.3 Техника. Технические науки..5 Сельское и лесное хозяйство..7 Здравоохранение. Медицинские науки..8 Общественные науки в целом. Социология. Статистика. Демография..9 История. Исторические науки..9 Экономика....»

«Ю.Н.Братков ТЕОРИЯ ГИПЕРОБЪЕКТОВ Ю.Н.Братков ТЕОРИЯ ГИПЕРОБЪЕКТОВ МОСКВА МАКС ПРЕСС ББК 22.3г + 22.311 + 22.654.1 + 26.823 + 63.2 + 63.3(0) + 63.3(2) + 63.3(7) + 63.5 + 81 + 82 + 86.2 + 87.21 Б87 УДК 39 + 398 + 51-7 + 519.763 + 519.765 + 530.1 + 530.11 + 550.3 + 551.1 + 551.4 + 801.54 + 903.7 + 930.9 + 980 Научное издание Братков Ю.Н. Б87 Теория гиперобъектов. – М.: МАКС Пресс, 2001. – 108 с. ISBN 5-317-00277-Х На многочисленных примерах показано, что за древними мифологическими конструкциями...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Московского физико-технического института (государственного университета) в 2011 году МОСКВА МФТИ Под редакцией Н.Н. Кудрявцева, Т.В. Кондранина, Ю.Н. Волкова, Л.В. Ковалевой Результаты работы Московского физико-технического института (государственного университета) в 2011 году. – М.: МФТИ, 2012. – 286 с. © федеральное государственное автономное...»

«Формирование мотивации школьников к участию в физических олимпиадах через решение творческих задач. Ильин А. Б., учитель физики, БУ Югорский физикоматематический лицей-интернат. Всероссийские олимпиады школьников уже длительное время являются важнейшим средством обучения и воспитания подрастающего поколения. В современных условиях цели олимпиадного движения коренным образом изменились: впервые поставлена цель выявления и развития творческих способностей обучающихся. В связи с этим возникла...»

«ОТ ВЕДРА НЬЮТОНА ДО ТЕОРИИ ФИЗИЧЕСКОГО ВАКУУМА Шипов Г.И. Введение Известный американский теоретик Ли Смолин в своей замечательной книге «Неприятности с физикой: взлет теории струн, упадок науки и что за этим следует» [1] определяет пять основных проблем, которые должна решить современная теоретическая физика:1. Объединить общую теорию относительности и квантовую теорию в одну теорию, которая может претендовать на роль полной теории природы. 2. Решить проблему обоснования квантовой механики...»

«Бюллетень новых поступлений в библиотеку за 3 квартал 2015 года Физико-математические науки Геометрия : 7-9 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений. 22-е изд. М. : 1 экз. Просвещение, 2012. 383, [1] с. : ил. Предм. указ.: с. 374. ISBN 978-5-09Демидченко, Владимир Иванович. 1 экз. Физика : [учеб. для студ. высш. учеб. заведений]. Изд. 2-е, перераб. и доп. Ростов-на-Дону : Феникс, 2012. 573, [1] с. (Серия Высшее образование). ISBN 978-5-222-18917-17 : 479.00. Мордкович, Александр Григорьевич. 1...»

«Гостевая Монография Книга Новая ФМК Статьи Форум Предисловие В поисках оснований Введение Логика и формальная математика Глава 1 Физическая математика Глава 2 Основания физической теории Глава 3 Принцип золотого сечения Глава 4 Принцип золотого сечения (продолжение) Глава 5 Обобщенная теория золотой пропорции Глава 6 Великая константа физики Глава 7 Великая константа физики (окончание) Глава 8 Экстремальные величины. Обобщенные физические законы Глава 9 Теория ЛМФ и ее приложения (в тезисной...»

«Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского   Посвящается 105летию со дня основания Саратовского государственного университета       «ПРОБЛЕМЫ ОПТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ И БИОФОТОНИКИ SFM-2014» Материалы Международного симпозиума Saratov Fall Meeting 2014 «Оптика и биофотоника II» 18-ая Международная молодежная научная школа Оптика, лазерная физика и биофотоника Под редакцией Г. В. Симоненко, В. В. Тучина 22 26 сентября 2014 года Саратов Саратов НОВЫЙ ВЕТЕР УДК 535(068) ББК 22.343.43...»

«1. НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕЙТРОННАЯ ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА В 2014 г. в ЛНФ работы велись в традиционных направлениях: изучение процессов нарушения пространственной и временной четности при взаимодействии нейтронов с ядрами; изучение процесса деления; экспериментальное и теоретическое исследование фундаментальных свойств нейтрона; гамма-спектроскопия нейтронно-ядерных взаимодействий; структура атомного ядра; получение новых данных для реакторных приложений и для ядерной астрофизики; эксперименты с...»

«Энергия и окружающая среда Cборник практических занятий для школьников Энергия и окружающая среда. Сборник практических занятий для школьников. Ред. О. А. Подосенова, А. В. Федоров, О. Н. Сенова, – OOO Экоцентрум. Санкт-Петербург, 2014, 92 стр. Составители: О. А. Подосенова, О. Н. Сенова Редакторы: А. В. Федоров, О. А. Сенова, О. А. Подосенова Верстка: Д. А. Мытарева В редактировании и апробации сборника также принимали участие Н. Халаим (Молдова), С. Ботнарь (Молдова), Т. Дерли (Молдова), Г....»

«1. Цели освоения дисциплины Основная цель дисциплины «Кристаллохимия» состоит в формировании более широкого и более правильного подхода к пониманию фундаментальных причин, определяющих физико-химические свойства вещества, включая его поведение (химические реакции), а также к пониманию особенностей строения кристаллического вещества, которые заключаются в наличии периодичности и специфической симметрии. Актуальность и основные задачи предмета диктуются необходимостью дать студентам представление...»

«Муниципальное образовательное учреждение Заозерная средняя школа № 16 с углубленным изучением отдельных предметов Кафедра естественно-математических дисциплин Методическое объединение естественных наук Интегрированные уроки по предметам естественноматематического цикла Сборник методических разработок Томск 2010 Развитие интереса к окружающему миру одна из самых главных задач обучения, а окружающий мир разнолик и многогранен. Его деление на части неизбежно, как и объединение этих частей....»

«Лист 2 Листов 45 ИБМТ БГУ СТИ OП 7.5-02-01-2010 МИНСК ПРЕДИСЛОВИЕ 1 РАЗРАБОТАН Институтом бизнеса и менеджмента технологий Белорусского государственного университета В разработке принимали участие: доктор физико-математических наук, профессор Апанасович В.В., кандидат технических наук, доцент, Ковалинский А.И., Силкович В.В., Гопка Е.А., Макаева Н.Ю., Нупрейчик Е.А. Составители руководства: Ковалинский А.И., Макаева Н.Ю. Под общей редакцией: Ковалинского А.И. ВНЕСЕН Учебно-методическим отделом,...»








 
2016 www.nauka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Книги, издания, публикации»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.